□高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量 学案

□高考必备公式、结论、方法、细节四：立体几何与空间向量一、必备公式1．空间几何体的表面积与体积公式：(1)基本公式：①圆：面积S圆＝πr2，  周长C圆＝2πr； ②扇形：弧长l扇形＝αR，  面积S扇形＝lR＝αR2，  周长C扇形＝l＋2R．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l(3)柱、锥、台和球的体积公式①柱体(棱柱和圆柱)：S表面积＝S侧＋2S底，V柱＝Sh；  ②锥体(棱锥和圆锥) ：S表面积＝S侧＋S底，V锥＝Sh；③台体(棱台和圆台) ： S表面积＝S侧＋S上＋S下，V台＝(S上＋S下＋)h；  ④球：S球＝4πR2 ，V球＝πR3； 2．平行关系的判定及性质定理：(1)线∥面的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．                (简记为“线线平行⇒线面平行”)∵l∥a，a⊂α，l⊄α∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．    (简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b∴l∥b(2)面∥面的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．                  (简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α       ∴α∥β性质定理两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行          (简记为“面面平行⇒线线平行”)∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b∴a∥b注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行⇒线面平行”) 3．垂直关系的判定及性质定理：(1)线⊥面的判定定理及性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．      (简记为“线线垂直⇒线面垂直”)∵l⊥a，l⊥b，a、b⊂α，a∩b＝O∴l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．∵a⊥α，b⊥α  ∴a∥b(2)面⊥面的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(简记为“线面垂直⇒面面垂直”)∵l⊂β，l⊥α   ∴α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．        (简记为“面面垂直⇒线面垂直”)∵α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a∴l⊥α注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则垂直该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直⇒线线垂直”) 4．空间向量与立体几何的求解公式：(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cos θ＝；(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cos β|＝.(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则两面的成角θ满足：cos θ＝cos〈n1，n2〉＝；注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为：||＝，即向量在法向量n的方向上的投影长. 二、必备结论1．直观图与原图的关系：(1)作图关系：①位置：平行性、相交性不变； ②长度：平行x(z)轴的长度不变，平行y轴的长度减半.(2)面积关系：S直观图′＝×S原图； 2．几个与球有关的内切、外接常用结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；  ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.(2)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：3∶1. 3．几种常见角的取值范围： ①异面直线成角∈(0，]     ②二面角∈[0，π]  ③线面角∈[0，]       ④向量夹角∈[0，π]         ⑤直线的倾斜角∈[0，π) 三、必备方法1．三视图还原方法：提点连线法，具体步骤：①根据三视图轮廓画长方体或正方体；  ②在底面画俯视图；③综合正视图和左视图进行提点连线；   ④验证与完善. 2．平行构造的常用方法： ①三角形中位线法；  ②平行四边形线法；  ③比例线段法.注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角；  ②平行关系的判定. 3．垂直构造的常用方法： ①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；   ③投影法. 4．用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2. 5．用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 6．点面距常用方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； ②等体积法； ③向量法 7．外接球常用方法：①将几何体补成长方体或正方体，则球直径=体对角线；  ②过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球球心，找到球心即可求半径. 四、必备细节1．证明平行和垂直关系时，条件罗列要全面；2．用法向量求二面角时，要注意判断法向量夹角就是二面角还是二面角的补角；3．在解决角度和距离问题时，一定要遵循“一作、二证、三求解”的原则。