□高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用 学案

□高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用一、必备公式1．椭圆有关知识：(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)(2)椭圆标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2 2．双曲线有关知识(1)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).(2)双曲线标准方程和几何性质标准方程－＝1 (a>0，b>0)－＝1 (a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 3．抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下4．重要公式(1)弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；  (2)韦达定理：x1＋x2＝－，x1x2＝.二、必备结论1．轨迹类型：方程＋＝1，当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线． 2．椭圆结论：(1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tan ；②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a；  ③通径：|AC|＝ (椭圆、双曲线通用)；   图1(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2；②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； ④斜率：kPA1·kPA2＝－.(3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系：               图2①点P在椭圆内⇔＋<1. ②点P在椭圆上⇔＋＝1. ③点P在椭圆外⇔＋>1.(4)椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 3．双曲线结论：(1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；(2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；图34．抛物线结论：如图4：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)；②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)；③＋＝；(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4(3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H． 三、必备方法1．直线与圆锥曲线相关问题：(1)位置关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0：①Δ＞0⇔有两个交点(相交)；  ②Δ＝0⇔有一个交点(相切)；  ③Δ＜0⇔没有交点(相离)．(2)弦长问题：弦长公式＋韦达定理，即|AB|＝·| x1－x2|＝·| y1－y2|.(3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系. 2．与角有关的关联性问题：①直角(垂直)⇔数量积a·b＝0或斜率k1·k2＝－1或余弦定理cos θ＝0或点共圆；②锐角⇔a·b＞0或余弦定理cos θ＞0；  ③钝角⇔a·b＜0或余弦定理cos θ＜0； 3．巧设直线：反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为x＝ty＋a，这样可避免对直线斜率存在性的讨论． 4．巧设共渐近线双曲线：与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ (λ≠0)． 四、必备细节1．易混淆：①椭圆a2＝b2＋c2，而双曲线c2＝a2＋b2； ②双曲线离心率e∈(1,＋∞)，而椭圆离心率e∈(0,1)．2．易忽视：①椭圆、双曲线的焦点位置； ②抛物线为化成标准方程； ③设直线未讨论斜率存在性；④解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式Δ≥0这一隐含条件．