2020年九年级数学上学期暑期预习知识点总结

数学知识点总结
二次函数
知识点：
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质
(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.

(2)函数的图像与的符号关系.

① 时抛物线开口向上顶点为其最低点；

② 当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中

.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的五要素：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点.
① 决定抛物线的开口方向：
当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同；越大，开口越小。

②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

③求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：，∴顶点是，
对称轴是直线.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线
的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

④抛物线与x轴有无交点的判定情况
⑴
⑵
⑶
⑤抛物线与y轴的交点 ()
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线中，的作用
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：
①时，对称轴为轴；②(即、同号)时,对称轴在轴左侧；
③(即、异号)时,对称轴在轴右侧. （左同右异）

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)

(轴)
(0, )


(,0)


(,)


()

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

(1)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(2)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
(3)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
(4)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．
(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．
(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根

14、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；

2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
15.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

重难点：
二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。
考点：
二次函数在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考内容。中考的主要命题点为：（1）求二次函数的关系式（2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二次函数的最大（小）值（4）抛物线（a≠0）与a,b,c的符号（5）二次函数与一元二次方程（6）二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题，还有探究题和开放题。有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识、三角函数等知识综合在一起的综合题、探究题和开放题。


圆的基本性质
知识点：
1.圆的有关概念
（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。

（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。

2.圆周角与圆心角
（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；
圆周角所对的弦是圆的直径。
（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

3.圆的对称性
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。

（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；
5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。

4.弧长及扇形的面积
弧长公式：
圆弧是圆的一部分，若将圆周分为360份，1°的圆心角所对的弧是圆周长的，因为半径为r的圆周长是2r，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式为（其中，为弧长，n为弧所对的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）
扇形的面积公式：
1·扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，如图，和半径OA、OB所组成的图形是一个扇形，读作扇形OAB
2·扇形的周长
扇形的周长等于弧长与两半径的长之和，即
3·扇形是圆面的一部分，若将半径为r的圆分为360份，圆心角1°的扇形面积是圆面积的，因为半径为r的圆的面积是，所以半径为r，圆心角为n°的扇形面积为
4·弧长为，半径为r的扇形面积为
5·扇形面积的应用（求圆的一部分的面积）：
5.圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全=πr2+πrl．
重点：
1.弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。
2.用尺规作图法对不在同一直线上的三个点作圆。
3.垂径定理。（重中之重：“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考）
4.扇形弧长和面积、圆锥侧面积和体积的计算。
难点：
1..对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解
2. 圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想像能力
3. 类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。
4.有关圆的无图多解问题。
考点：
1 垂直于弦的直径
2 圆周角定理及其推论
3 圆内接四边形
4 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
5 圆的性质综合题

相似三角形
知识点：
1 相似图形
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

2 比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，
那么就说这两条线段的比是，或写成．

注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．

在四条线段中，如果的比等于的比，

那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
注意：
(1) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．

(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．
3 比例的性质
基本性质：
(1)；(2)．

注意：
由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除
了可化为，还可化为，，，，，，．

更比性质(交换比例的内项或外项)：

反比性质(把比的前项、后项交换)：．

合比性质：．

注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．
等比性质：

如果，那么．
注意：
(1) 此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．

4 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：
(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形第三边．

5 黄金分割
把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．
6 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注意：
①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

7 相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原
三角形相似．
定理的基本图形：

用数学语言表述是：，∽．

8 相似三角形的等价关系
(1) 反身性：对于任一有∽．

(2) 对称性：若∽，则∽．


(3) 传递性：若∽，且∽，则∽．

9 三角形相似的判定方法


1、 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．

2、 平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，

所构成的三角形与原三角形相似．


3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．


4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，
那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法：
(1)以上各种判定均适用．

(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
　　公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
　　（1）（AD）2=BD·DC，
　　（2）（AB）2=BD·BC ，
　　（3）（AC）2=CD·BC 。
　　
证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即
（AD）2=BD·DC。其余类似可证。
　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2，
即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。
　　这就是勾股定理的结论。


10 相似三角形性质
(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．


(3) 相似三角形周长的比等于相似比．

(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方．


(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．

11 相似多边形

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)．

12 相似多边形的性质

(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．

13 与位似图形有关的概念
1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.
2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
拓展：
（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.
（2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
（3） 位似图形的对应边互相平行或共线.


14 位似图形的性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质.

15 画位似图形
1. 画位似图形的一般步骤：
（1） 确定位似中心
（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.
（3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.
2. 位似中心的选取：
（1） 位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.
（2） 位似中心可取在多边形的一条边上.
（3） 位似中心可取在多边形的某一顶点上.
说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.

16 相似三角形常见的图形

（1） 若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2） 射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；

（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
（4）当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．

（3） （4）
重点：
相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质
难点：
相似三角形性质的应用
考点：
图形的相似是平面几何中极为重要的内容。中考的主要命题点为：
（1） 比例的性质和黄金分割

（2） 相似三角形的定义及相似三角形的判定

（3） 相似三角形的性质及其应用

（4） 相似多边形的定义和性质

（5） 位似图形及其作图等。


题型主要为选择题、填空题、解答题等，选择题、填空题将注重“相似三角的判定与性质”等基础知识的考查，将在解答题中加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力度。
解直角三角形
知识点：
一、 锐角三角函数的定义：
在中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，则：

常用变形：；等，由同学们自行归纳。
二、 锐角三角函数的有关性质：
1、 当0°