江苏省连云港市赣榆区2020届高考数学仿真训练试题

江苏省连云港市赣榆区2020届高考数学仿真训练试题一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．  已知集合A＝{1,4,5}，B＝{3,4}，则A∪B＝    ▲    ．2．设复数z满足z(1－i)＝4 i (i为虚数单位)，则复数z的模为    ▲    ． 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是    ▲    ．4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为，则输入x的值为    ▲    ．             5．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为    ▲    ．6. 函数的定义域是    ▲    ． 7．已知双曲线：的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该双曲线的离心率为    ▲    ．8．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走 里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为   ▲    ．9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是    ▲    ．10. 已知直线经过点，则的最小值是    ▲    ．11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为    ▲   ．12.如图，扇形的半径为2，，是弧上一点，满足 ，与的交点为，那么      ▲     ．        13. 在平面直角坐标系xoy中，已知直线：与圆C：交于A、B两点，过点A、B分别做圆C的两条切线与，直线与交于点P，则线段PC长度的最小值是    ▲    ．14. 已知函数 若关于的不等式的解集非空，且为有限集，则实数的取值集合为    ▲    ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15. (本小题满分14分)在中，角、、的对边分别为、、，且.（1）若，，求的值；（2）若，求的值.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证：（1）平面；（2）平面.        17．(本小题满分14分)如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”.已知椭圆E：上的点的下辅助点为（1，﹣1）.（1）求椭圆E的方程；（2）若△OMN的面积等于，求下辅助点N的坐标.        18．(本小题满分16分)如图，某城市小区有一矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；（2）如何选取点的位置，能使总造价最小．        19．(本小题满分16分)已知函数，．（是自然对数的底数，e≈2.718…）（1）求函数的极值；（2）若函数在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（3）若函数在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，并且 的极大值小于整数b，求b的最小值．    20．(本小题满分16分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.（1）求数列{an}的通项公式；（2）记集合M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若M中有3个元素，求λ的取值范围；（3）是否存在等差数列{bn}，使得a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2对一切n∈N*都成立？若存在，求出bn；若不存在，说明理由．     数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B.（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量.   C．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中, 为曲线上的动点, 为直线上的动点, 求的最小值.  22. (本小题满分10分)如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，，的中点，，．（1）求证：⊥；（2）求二面角的余弦值．   23. (本小题满分10分)（1）证明：；（2）证明：对一切正整数n和一切实数，有.   参考答案1. {1,3,4,5}          2.         3. 50          4．        5．   6. (0,2]            7.          8. 120         9.            10. 211..             12.2            13.       14. 15. 解：（1）在中，由余弦定理得，，即，  解得或（舍），所以；（2）由及得，，  所以，所以==16. 证明：（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB． 又平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB．   （2）因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 因为CD，平面PCD，，所以AM⊥平面PCD．   17.解：（1）∵椭圆上的点（1，）的下辅助点为（1，﹣1），∴辅助圆的半径为R，椭圆长半轴为a＝R，将点（1，）代入椭圆方程中，解得b＝1，.....................6分∴椭圆E的方程为；（2）设点N（x0，y0）（y0＜1），则点M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，x02+y02＝2，，故y02＝2y12，即y0y1，又S△OMNx0（y1﹣y0），则x0y1，........................10分将x0y1与联立可解得或，∴下辅助点N的坐标为（，）或（，）；.....................14分18． 解：（1）过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为．在中，，则在中，，··············4分由题意易得     ························6分因此，  ··············7分       ···················································9分（2） 令， ，因为，所以 ，······························12分设锐角满足， 当时，，单调递减；当时，，单调递增．·········································14分所以当 ，总造价最小，最小值为，此时，，，答：当米时，能使总造价最小．········································16分19．解：（1），，令，解得，列表：↗极大值↘∴当时，函数取得极大值，无极小值…………3分（2）由，得…………5分∵，令，∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立∴，解得．………… 8分（3），令， ∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．…………10分∵∴当时，，单调递增，当时，，单调递减则，∴，解得，∴∵在上连续且∴在和上各有一个实根∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值，在区间上存在极大值．∴，且，……13分令，当时，，单调递减∵，∴，即，则∵的极大值小于整数，∴满足题意的整数的最小值为．…………16分 20.解：(1)当n＝1时，S1＝2a1－1，得a1＝1.当n≥2时，由Sn＝2an－1，①得Sn－1＝2an－1－1，②①－②，得an＝2an－1，即＝2(n≥2)．因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1. (2)由已知可得λ≤，令f(n)＝，则f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝3，f(4)＝，f(5)＝， 下面研究f(n)＝的单调性，因为f(n＋1)－f(n)＝－＝，所以，当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＜0，f(n＋1)＜f (n)，即f(n)单调递减. 因为M中有3个元素，所以不等式λ≤解的个数为3，所以2＜λ≤，即λ的取值范围为.(3)设存在等差数列{bn}使得条件成立，则当n＝1时，有a1b1＝22－1－2＝1，所以b1＝1.当n＝2时，有a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以b2＝2.所以等差数列{bn}的公差d＝1，所以bn＝n. 设S＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1，S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③所以2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④④－③，得S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n ＝－n＋＝2n＋1－n－2，所以存在等差数列{bn}，且bn＝n满足题意． 21B．解：矩阵M的特征多项式为= ……1分  因为方程的一根，所以……………………………………3分  由,得………………………………………… 5分设对应的一个特征向量为,则,得……………8分令,所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为…………10分21C．解:圆的方程可化为,所以圆心为,半径为2     …………3分又直线方程可化为                          ……………………… 5分所以圆心到直线的距离，故                                    ………………………10分 22.（1）取中点，连接，在三棱柱中，因为⊥平面，所以四边形为矩形，又分别为的中点，所以．因为．所以．又平面，则，因为，所以．如图建立空间直角坐标系．··············2分由题意得，，，，，．所以，，所以，所以，所以．··············5分（2）由（1）可得，，，设平面的法向量为，所以，所以，令，则，，··············7分所以平面的一个法向量，又因为平面的法向量为，··············8分所以．由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．··············10分23.证明：（1）右边==左边（2）①当时，左边==右边。     ②假设时，对一切实数，都有成立，那么，当时，对一切实数，有 。所以，当时，等式成立。故对一切正整数和一切实数，有。