2021高考数学大一轮复习考点规范练14导数的概念及运算理新人教A版

考点规范练14　导数的概念及运算　考点规范练B册第8页　 基础巩固1.已知函数f(x)=+1,则的值为(　　)A.- B C D.0答案:A解析:=-=-f'(1)=-=-2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(　　)A.e B.-e C D.-答案:C解析:由题意可得y=lnx的定义域为(0,+∞),且y'=设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为3.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(　　)A.y=2x-1 B.y=xC.y=3x-2 D.y=-2x+3答案:C解析:令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,∴f'(x)=4x-1,∴f(1)=1,f'(1)=3,∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.4.(2019广东七校联考)函数f(x)=xcos x的导函数f'(x)在区间[-π,π]上的图象大致是(　　)答案:A解析:由题意,得f'(x)=cosx+x(-sinx)=cosx-xsinx.因为f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数.又f'(0)=1,所以排除选项C,D.又f'=-<0,所以排除选项B.故选A.5.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　)A.(1,3) B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)答案:C解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于(　　)A.-8 B.-6 C.-1 D.5答案:A解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.∵y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,即ab=(-2)3=-8.故选A.7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3答案:A解析:设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.A项,f'(x)=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B项,f'(x)=(x>0),显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有性质T;C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有性质T;D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=33=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于(　　)A.-1或- B.-1或C.-或- D.-或7答案:A解析:因为y=x3,所以y'=3x2.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切,可得a=-;当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1.9.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　　. 答案:-3解析:设f(x)=(ax+1)ex,∵f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,∴f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.10.(2019广西柳州高中一模)已知函数f(x)=+sin x,其导函数记为f'(x),则f(2 018)+f(-2 018)+f'(2 018)-f'(-2 018)的值为　　　　　. 答案:2解析:因为f(x)=+sinx,所以f'(x)=-+cosx,所以f(x)+f(-x)=+sinx++sin(-x)=2,f'(x)-f'(-x)=-+cosx+-cos(-x)=0,所以f(2018)+f(-2018)+f'(2018)-f'(-2018)=2.11.函数f(x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于　　　　　. 答案:解析:∵f'(x)==,∴f'(-1)=-4.∴切线方程为y=-4x-2.∴切线在x轴、y轴上的截距分别为-,-2.∴所求三角形的面积为12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. 答案:[2,+∞)解析:∵f(x)=x2-ax+lnx,∴f'(x)=x-a+∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+-a=0有解,∴a=x+2(x>0).能力提升13.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　)答案:D解析:由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　)A.1 B C D答案:B解析:因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=故所求的最小值为15.给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的“拐点”是M(x0,f(x0)),则点M(　　)A.在直线y=-3x上 B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上 D.在直线y=4x上答案:B解析:由题意,知f'(x)=3+4cosx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,由f″(x0)=0,知-4sinx0+cosx0=0,即4sinx0-cosx0=0,所以f(x0)=3x0+4sinx0-cosx0=3x0,即点M(x0,3x0),显然在直线y=3x上,故选B.16.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为　　　　　. 答案:4解析:由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2.∵函数f(x)=g(x)+x2.∴f'(x)=g'(x)+2x,∴f'(1)=g'(1)+2=4,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.17.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)在点(0,h(0))处的切线方程是　　　　　　　　　　. 答案:x-y+4=0解析:∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.∴f(x)=,g(x)=∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-ex+e-x+2x2+2.∴h'(x)=ex-e-x+4x,即h'(0)==1.又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.高考预测18.若函数f(x)=ln x-f'(1)x2+5x-4,则f'=　　　　　. 答案:5解析:∵f'(x)=-2f'(1)x+5,∴f'(1)=1-2f'(1)+5,解得f'(1)=2,∴f'=2-2+5=5.