2021高考数学大一轮复习考点规范练43空间向量及其运算理新人教A版
展开考点规范练43 空间向量及其运算
考点规范练A册第30页
基础巩固
1.(2019江西丰城中学期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若+x+y,则x,y的值分别为( )
A.x=1,y=1 B.x=1,y=
C.x=,y= D.x=,y=1
答案:C
解析:),故x=,y=
2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( )
A.2, B.- C.-3,2 D.2,2
答案:A
解析:∵a∥b,
∴存在k∈R,使b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),
则解得
3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( )
A.-2 B.- C D.2
答案:D
解析:由题意知a·(a-λb)=0,
即a2-λa·b=0,∴14-7λ=0.∴λ=2.
4.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC的中点,则△AMD是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不确定
答案:C
解析:∵M为BC的中点,).
)=0.∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.
5.(2019安徽阜阳调考)在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则( )
A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0
C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0
答案:A
解析:∵A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).
∵A,B,C,D四点共面,∴存在实数λ,μ使得=+,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),
解得2x+y+z=1,故选A.
6.在空间四边形ABCD中,则的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:B
解析:(方法一)如图,令=a,=b,=c,
则()+()+()=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
(方法二)在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,由正四面体的对棱互相垂直可知,=0,=0,=0.
故=0.
7.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a的夹角为60°的是( )
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
答案:B
解析:对于选项B,设b=(1,-1,0),
则cos<a,b>=
因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=60°,故选B.
8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=(1,2,0),=(2,1,0),=(0,1,5),则对角线AC1的边长为( )
A.4 B.4 C.5 D.12
答案:C
解析:=(0,1,5)+(1,2,0)+(2,1,0)=(3,4,5),
所以||==5
9.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是( )
A.相交 B.垂直 C.不垂直 D.成60°角
答案:B
解析:因为=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,
所以
因为=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,
所以
又AB∩AD=A,
所以AP⊥底面ABCD.
10.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.当最小时,点Q的坐标是 .
答案:
解析:设==(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).
故=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6
所以当λ=时,取得最小值-,此时
所以点Q的坐标是
11.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:
(1)A1,G,C三点共线;
(2)A1C⊥平面BC1D.
证明(1),可以证明)=,,即A1,G,C三点共线.
(2)设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=a,
且a·b=b·c=c·a=0,
=a+b+c,=c-a,
=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0.
因此,即CA1⊥BC1.
同理CA1⊥BD,
又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,
故A1C⊥平面BC1D.
能力提升
12.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若=x+2y-3z,则x+y+z=( )
A.1 B C D
答案:B
解析:=x+2y-3z,
∴x=1,y=,z=-,∴x+y+z=1+
13.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为( )
A.a2 Ba2 Ca2 Da2
答案:C
解析:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60°.
(a+b),c,
故(a+b)c
=(a·c+b·c)
=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.
高考预测
14.如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E为BC延长线上一点,=2,则=( )
A
B
C
D
答案:B
解析:如图所示,取BC的中点F,连接A1F,则A1D1∥FE,且A1D1=FE,
∴四边形A1D1EF是平行四边形,
∴A1F∥D1E,且A1F=D1E.
又=-,
