2021高考数学大一轮复习考点规范练61古典概型与几何概型理新人教A版

考点规范练61　古典概型与几何概型

　考点规范练A册第43页　 

基础巩固

1.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为,则河宽大约为(　　)

A.80 m B.50 m C.40 m D.100 m

答案:D

解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为500=100(m).

2.已知A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2},B={(x,y)|y}.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在区域B中的概率为(　　)

A.1- B C-1 D

答案:A

解析:集合A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是正方形,其面积为4,集合B={(x,y)|y}表示的区域在正方形内的部分为图中阴影部分,其面积为4-12×π.

故向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为=1-

3.(2019河北唐山高三二模)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现,右图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.在△ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为(　　)

A B C D

答案:B

解析:根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,故该点落在标记“盈”的区域的概率为

4.(2019全国Ⅰ,理6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A B C D

答案:A

解析:由题可知,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有种情况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为,故选A.

5.某停车场只有并排的8个停车位,恰好全部空闲,现有3辆汽车依次驶入,并且随机停放在不同车位,则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是(　　)

A B C D

答案:C

解析:因为3辆车皆不相邻的情况有种,所以3辆车皆不相邻的概率为,因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是1-

6.在Rt△ABC中,三条边恰好为三个连续的自然数,以三个顶点为圆心的扇形的半径为1.若在△ABC中随机地选取m个点,其中有n个点正好在扇形里面,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(　　)

A B C D

答案:B

解析:由题意得Rt△ABC的三条边恰好为三个连续的自然数,

设三边分别为n,n+1,n+2,则n2+(n+1)2=(n+2)2,解得n=3.

∴S△ABC=3×4=6,以三个顶点为圆心的扇形的面积和为π×12=,由题意,得,

∴π=

7.(2019云南玉溪高三五调)教育部选派3名中文教师到外国任教中文,有4个国家可供选择,每名教师随机选择一个国家,则恰有2名教师选择同一个国家的概率为(　　)

A B C D

答案:C

解析:根据题意,3名教师每人有4种选择,共有43=64(种)可能,恰有2名教师选择同一个国家有=36(种)可能,则所求概率为P=

8.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,则标号为1,2的卡片放入同一个信封的概率为　　　　　. 

答案:

解析:由题意,将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,共有=90种.

先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4张卡片中选两张放一个信封有=6种,余下放入最后一个信封,

∴标号为1,2的卡片放入同一个信封共有3=18种.

∴标号为1,2的卡片放入同一个信封的概率为

9.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2…A8的中心,A1(1,0),任取不同的两点Ai,Aj,点P满足=0,则点P落在第一象限的概率是　　　　　. 

答案:

解析:共有=28(种)基本事件,其中使点P落在第一象限共有+2=5(种)基本事件,故所求的概率为

10.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为　　　　　. 

答案:

解析:所求的概率为=

11.记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是　　　　　. 

答案:

解析:由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=,答案为

能力提升

12.从集合{2,3,4}中随机抽取两个数x,y,则满足logxy的概率是(　　)

A B C D

答案:D

解析:∵logxy,x,y∈{2,3,4},∴y

∵从集合{2,3,4}中随机抽取两个数x,y,

∴所有的数对(x,y)共有3×2=6(个).

∵满足y的数对(x,y)有(4,2),共1个,

∴从集合{2,3,4}中随机抽取两个数x,y,满足logxy的概率是

13.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为,则图中直角三角形较大锐角的正弦值为(　　)

A B C D

答案:B

解析:设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x,1+x,

由几何概型可得,

解得x=1(x=-2(舍)).

所以直角三角形的边长分别为1,2,,直角三角形较大锐角的正弦值为,故选B.

14.某酒厂制作了3种不同的精美卡片,每个酒盒随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买该种酒5瓶,能获奖的概率为(　　)

A B C D

答案:D

解析:假设5个酒盒各不相同,5个酒盒装入卡片的方法一共有35=243(种),

其中包含了3种不同卡片有两种情况:即一样的卡片3张,另外两种不同的卡片各1张,有2×3=60(种)方法,

两种不同的卡片各2张,另外一种卡片1张,有3=15×6=90(种),

故所求的概率为

15.抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过的概率为　　　　　. 

答案:

解析:根据题意,得到的点数所形成的数组(a,b)共有6×6=36(种),其中满足直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过,则圆心到直线的距离不小于,即1>,即1<a2+b2≤9的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)四种,故直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过的概率为

16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是　　　　　. 

答案:

解析:以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.

因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.

根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为

高考预测

17.已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,则A与B在相邻两天值班的概率为　　　　　. 

答案:

解析:A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,基本事件总数n==6,A与B在相邻两天值班包含的基本事件个数m==4,故A与B在相邻两天值班的概率P=