高中数学人教版新课标A选修2-21.5定积分的概念课后复习题

§1.5.1　曲边梯形的面积 §1.5.2　汽车行驶的路程 §1.5.3　定积分的概念

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是

①n个小曲边梯形的面积和等于S；

②n个小曲边梯形的面积和小于S；

③n个小曲边梯形的面积和大于S；

④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．

A．1　　　　　　　　　    B．2

C．3          D．4

解析　根据“化整为零”、“积零为整”的思想知①是正确的，故选A.

答案　A

2．一物体的运动速度v＝2t＋1，则其在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程为

A．4          B．3

C．2          D．1

解析　

即求(2t＋1)dt.可由其几何意义求解．

s＝＝4.

答案　A

3．已知f(x)dx＝0，则

A.f(x)dx＝f(x)dx＝0    B.f(x)dx＋f(x)dx＝0

C．2f(x)dx＝0      D．2f(x)dx＝0

解析　由定积分的性质知

f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝0.

答案　B

4．已知S1＝xdx，S2＝x2dx，则S1与S2的大小关系是

A．S1＝S2         B．S＝S

C．S1>S2         D．S1<S2

解析　由定积分的几何意义知S1＝S△OAB，S2为图中的阴影部分，故S1>S2.

答案　C

5.dx的值为

A.a2          B.a2

C．πa2         D．－a2

解析　由定积分的几何意义易知dx为圆x2＋y2＝a2的面积的，故选A.

答案　A

6．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin x围成的平面图形的面积可表示为

A．2(x3＋sin x)dx      B．2(x3＋sin x)dx

C.(x3＋sin x)dx       D.(x3＋sin x)dx

解析　因函数y＝x3＋sin x是奇函数，则由定积分的几何意义可知，S＝2(x3＋sin x)dx.故选B.

答案　B

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．若xdx＝1，则实数a的值为________．

解析　由定积分的几何意义知：

xdx＝×a×a＝1(a＞0)，则有a＝.

答案　

8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．

解析　如图所示，阴影部分的面积可表示为

xdx－dx＝dx.

答案　dx

9．若＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x轴围成的图形的面积为________．

解析　由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sin x，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形的面积等于g(x)＝cos x，x∈的图象与坐标轴围成的图形的面积的2倍，所以S＝sin xdx＝2.

答案　2

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)利用定积分的定义计算(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．

解析　令f(x)＝－x2＋2x.

(1)分割

在区间[1，2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1，2]等分为n个小区间(i＝1，2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.

(2)近似代替、求和

取ξi＝1＋(i＝1，2，…，n)，则

Sn＝·Δx

＝·

＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]

＝－＋·

＝－＋·＋3＋.

(3)取极限

(－x2＋2x)dx＝Sn

＝

＝，

(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．

11．(12分)已知函数f(x)＝求f(x)dx的值．

解析　由定积分的几何意义知x3dx＝0，

2xdx＝＝π2－4，

cos xdx＝0.

由定积分的性质得

f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cos xdx＝π2－4.

12．(13分)利用定积分的几何意义计算下列定积分．

(1)(3x＋2)dx；

(2)dx.

解析　(1)如图所示，阴影部分的面积为＝，

从而(3x＋2)dx＝.

(2)原式＝|2－x|dx＝(2－x)dx＋(x－2)dx，

如图所示．

由定积分的几何意义知

(2－x)dx＝×2×2＝2，

(x－2)dx＝×1×1＝.

∴dx＝.