高中数学人教版新课标A选修2-21.6微积分基本定理课时训练

§1.6　微积分基本定理

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.dx的值为

A．1＋ln 2　　　　　　　　   B．2＋ln 2

C．3＋ln 2         D．4＋ln 2

解析　∵f(x)＝＝2x＋1＋，

取F(x)＝x2＋x＋ln x，

则F′(x)＝2x＋1＋，

∴dx＝(x2＋x＋ln x)＝4＋ln 2.

答案　D

2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为

A．2         B．4

C．2          D．4

解析　首先求出两曲线的交点，画出图形，确定出被积函数，再用积分求出面积．令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2，

∴S＝(4x－x3)＝)0＝8－4＝4，故选D.

答案　D

3．已知f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则的值为

A.          B.

C.          D.

解析　＝x2dx＋

＝x3＋ln x＝＋2＝.

答案　C

4.)dx等于

A．0          B．1

C．2          D．－2

解析　(1－x)dx＋(x－1)dx

＝＋

＝＋－＝1.

答案　B

5．设f(x)＝sin tdt，则f等于

A．－1         B．1

C．－cos 1         D．1－cos 1

解析　f(x)＝sin tdt＝－cos t＝－cos x＋1，

∴f＝－cos＋1＝1.

∴f＝f(1)＝－cos 1＋1.

答案　D

6．若dx＝3＋ln 2，且a＞1，则a的值是

A．6           B．4

C．3           D．2

解析　因为dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1，

所以a2＋ln a－1＝3＋ln 2，所以a＝2.

答案　D

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．已知α∈，则当(cos x－sin x)dx取最大值时，α＝________．

解析　(cos x－sin x)dx

＝(sin x＋cos x)＝sin α＋cos α－1

＝sin－1，

上式取最大值时，sin＝1，

∵α∈，∴α＝.

答案　

8．F(x)是一次函数，且F(x)dx＝5，F(x)xdx＝，则F(x)＝________．

解析　∵F(x)是一次函数，

∴设F(x)＝kx＋b(k≠0)．

∴F(x)dx＝(kx＋b)dx

＝

＝＋b，

∴＋b＝5.①

∴F(x)xdx＝(kx＋b)xdx＝(kx2＋bx)dx

＝

＝＋.

∴＋＝.②

由①②，得k＝4，b＝3.

∴F(x)＝4x＋3.

答案　4x＋3

9．设函数y＝f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．

解析　∵f(x)dx＝(ax2＋c)dx

＝＝＋c

＝ax＋c，0≤x0≤1，

∴x0＝.

答案　

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)求下列定积分．

(1) dx；

(2) cosdx.

解析　(1)∵(ex)′＝ex，′

＝·′

＝－sin

∴dx

＝exdx＋∫0sindx

＝ex－cos

＝(e－e0)－

＝e－1－＝e－.

(2)因为cos＝cos xcos ＋sin xsin ＝cos x＋sin x，

又因为(sinx)′＝cos x，(－cos x)′＝sin x，

所以cosdx＝dx

＝＝0.

11．(12分)求函数f(x)＝在区间[0，3]上的定积分．

解析　由积分性质知

f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx

＝x3dx＋dx＋2xdx

＝x3dx＋xdx＋2xdx

＝0＋1＋2

＝＋－＋－

＝－＋＋.

12．(13分)求由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积．

解析　由图形可得

S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx＝＋

＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.