数学选修2-31.3二项式定理习题

这是一份数学选修2-31.3二项式定理习题，共4页。
1-3-1  二项式定理[综合训练·能力提升]一、选择题（每小题5分，共30分）1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是A．－27C　   　B．27C　　  C．－9C　 　D．9C解析　含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.答案　D2．在的展开式中常数项是A．－28         B．－7         C．7         D．28解析　Tr＋1＝C··＝(－1)k·C··x8－k，当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·＝7.答案　C3．(1＋x)6展开式中x2的系数为A．15        B．20         C．30          D．35解析　(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6，在(1＋x)6二项式展开中x2项的系数为C＝＝15，在·(1＋x)6二项式展开中x2项的系数为C＝15，所以x2的系数为15＋15＝30.故选C.答案　C4．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是A．(2x＋2)5    B．2x5        C．(2x－1)5     D．32x5解析　原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案　D5．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有A．3项       B．4项        C．5项        D．6项解析　Tk＋1＝C·x·x－＝C·x12－k，则k＝0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数．答案　C6．对于二项式(n∈N*)，有以下四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是A．①与③     B．②与③      C．②与④     D．①与④解析　二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．答案　D二、填空题（每小题5分，共15分）7．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．解析　Tr＋1＝C(3x)r＝C·3r·xr，令r＝2，得C·32＝54，得·9＝54，整理得n2－n－12＝0，解得n＝4.答案　48．在的展开式中，中间项是________．解析　由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.答案　－160x39．230＋3除以7的余数是________．解析　230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C·710＋C·79＋…＋C·7＋C＋3＝7×(C·79＋C·78＋…＋C)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案　4三、解答题（本大题共3小题，共35分）10．（10分）在的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．解析　(1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C(2)4＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.答案　(1)15　240　(2)－192x211．（12分）在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，(1)求r的值；(2)写出展开式中的第4r项和第r＋2项．解析　(1)第4r项和第r＋2项的二项式系数分别是C和C，因为C＝C，所以4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，解得r＝4或r＝.所以r＝4.(2)T4r＝T16＝C·(－x2)15＝－15 504x30，Tr＋2＝T6＝C(－x2)5＝－15 504x10.答案　(1)4　(2)－15 504x30　－15 504x1012．(13分)已知在的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项．解析　通项公式为Tk＋1＝Cx(－3)kx－＝C(－3)kx.(1)∵第6项为常数项，∴k＝5时，有＝0，即n＝10.(2)根据通项公式，由题意得令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－r.∵k∈Z，∴r应为偶数．于是r可取2，0，－2，即k可取2，5，8.故第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.答案　(1)10(2)C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2