高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例第1课时巩固练习
展开第1课时 解三角形的实际应用举例
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A= 30°,则其跨度AB的长为
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
解析 由题意知,∠A=∠B=30°,
所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得,=,
即AB===4.
答案 D
2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=100米,从C,D两点测得A点仰角分别是60°,30°,则A点离地面的高度AB等于
A.50米 B.100米
C.50米 D.100米
解析 因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°,
所以△ADC为等腰三角形.
所以AC=DC=100米,
在Rt△ABC中,AB=ACsin 60°=50米.
答案 A
3.在高出海平面200 m的小岛顶上A处,测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°,此时两船间的距离为________m.
解析 过点A作AH⊥BC于点H,
由图易知∠BAH=45°,∠CAH=60°,AH=200 m,
则BH=AH=200 m,CH=AH·tan 60°=200 m.
故两船距离BC=BH+CH=200(+1)m.
答案 200(+1)
4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
解析 根据已知的图形可得AB=.
在△ABC中,∠BCA=30°,∠BAC=37°,
由正弦定理,得=,
所以BC≈2××0.60=60(m).
答案 60
[限时45分钟;满分80分]
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
解析 如图,由题意,
知AC=BC,∠ACB=80°,
所以∠CBA=50°,α+∠CBA=60°.
所以α=10°,
即A在B的北偏西10°.故选B.
答案 B
2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为
A.(30+30)m B.(30+15)m
C.(15+30)m D.(15+15)m
解析 由正弦定理可得=,
PB==.
h=PB·sin 45°=·sin 45°=(30+30)(m).故选A.
答案 A
3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为
A.a km B.a km
C.a km D.2a km
解析 由题意得∠ACB=120°,
AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,
所以AB=a.故选B.
答案 B
4.设在南沙群岛相距10 n mile的A,B两小岛上的两个观测站,同时发现一外国船只C非法进入我领海.若在A望C和B成60°的视角,在B望C和A成75°的视角,则船只C距离最近观测站
A.5 n mile B.5 n mile
C.5 n mile D.5 n mile
解析 结合题意作图如图,
由B>A得BC<AC,
故船只C距离观测站B近.
因为在△ABC中,
因为=,
所以BC=
==5(n mile).故选C.
答案 C
5.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为
A.30 m B. m
C.15 m D.45 m
解析 在△ABC中,AC=15 m,
AB=5 m,BC=10 m,
由余弦定理得
cos∠ACB===-,
∴sin∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°,
∴sin∠ACD=sin∠ACB=.
在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD
=15×=(m).
答案 B
6.(能力提升)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间为
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
解析 设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米,AP=x,
在△ABP中,PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cos A,
即302=x2+402-2x·40cos 45°,
化简得x2-40x+700=0,
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,
|x1-x2|=20,
即图中的CD=20(千米),故t===1(小时).
答案 B
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.一艘海轮从A处出发,以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是________海里.
解析 如图所示,A=30°,B=105°,C=45°,AB=10,由正弦定理可得BC==5.
答案 5
8.在山底测得山顶的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶的仰角∠DSB=75°,则山高BC=________.
解析 如图,∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=45°-15°=30°,
所以∠ASB=180°-15°-30°=135°.
在△ABS中,由正弦定理得
AB==1 000×=1 000,
所以BC=ABsin 45°=1 000×=1 000(m).
答案 1 000 m
9.(能力提升)海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近,此时海盗船距观测站10海里,20分钟后测得海盗船距观测站20海里,再过______分钟,海盗船到达商船.
解析 如图,设观测站、商船分别位于A、B处,开始时,海盗船位于C处,20分钟后,海盗船到达D处.
在△ADC中,AC=10,AD=20,CD=30,由余弦定理,得
cos∠ADC===.
则∠ADC=60°.
在△ABD中,由已知,得∠ABD=30°,∠BAD=60°-30°=30°,
所以BD=AD=20,×60=(分钟).
答案
三、解答题(本大题共3小题,共35分)
10.(11分)海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°,距离为12海里处;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8海里处;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求:
(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
解析 由题意,画出示意图,如右图所示.
(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°,则B=45°.
由正弦定理,得AD==24(海里).
(2)在△ADC中,由余弦定理,得
CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°=242+(8)2-2×24×8×=(8)2,得CD=8(海里).
答:A处与D处的距离为24海里,灯塔C与D处的距离为8海里.
11.(12分)如图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为γ,求证:山高h=.
证明 在△ABP中,∠ABP=180°-γ+β,
∠BPA=180°-(α-β)-∠ABP
=180°-(α-β)-(180°-γ+β)=γ-α.
在△ABP中,根据正弦定理,
=,
即=,
AP=,
所以山高h=APsin α=.
12.(12分)(能力提升)在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B、C、D.已知B,C两市相距20 km,C,D相距34 km,C市在B,D两市之间,如图所示.某时刻C市感到地表震动,8 s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B、C、D三市的距离.
解析 在△ABC中,
由题意AB-AC=1.5×8=12(km).
在△ACD中,由题意AD-AC=1.5×20=30(km).
设AC=x km,
则AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.
在△ABC中,cos∠ACB===.
在△ACD中,cos∠ACD===.
∵B,C,D在一条直线上,∴=-,
即=.
解得x=,∴AB= km,AD= km,
即震中A到B,C,D三市的距离分别为 km, km, km.
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