2021高考数学大一轮复习考点规范练10幂函数与二次函数理新人教A版
展开考点规范练10 幂函数与二次函数
考点规范练B册第6页
基础巩固
1.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)是( )
A.偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数
B.偶函数,且在区间(0,+∞)内是减函数
C.奇函数,且在区间(0,+∞)内是减函数
D.非奇非偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数
答案:D
解析:设幂函数f(x)=xa,则f(3)=3a=,解得a=,
则f(x)=,是非奇非偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数.
2.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是( )
答案:D
解析:因为a>0,所以f(x)=xa在区间(0,+∞)内为增函数,故A不符合;
在B中,由f(x)的图象知a>1,由g(x)的图象知0<a<1,矛盾,故B不符合;
在C中,由f(x)的图象知0<a<1,由g(x)的图象知a>1,矛盾,故C不符合;
在D中,由f(x)的图象知0<a<1,由g(x)的图象知0<a<1,相符.
3.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:当x>0时,x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,可知x=3;
当x<0时,x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,可知x=-3;
故f(x)的零点个数为2.故选B.
4.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( )
A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a
C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a
答案:B
解析:5-a=
因为a<0,所以函数y=xa在区间(0,+∞)内单调递减.
又<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.
5.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( )
A.- B.- C.c D
答案:C
解析:由已知f(x1)=f(x2),且f(x)的图象关于x=-对称,
则x1+x2=-,
故f(x1+x2)=f=a-b+c=c.选C.
6.(2019安徽名校联考)幂函数y=x|m-1|与y=(m∈Z)在区间(0,+∞)内都单调递增,则满足条件的整数m的值为( )
A.0 B.1和2 C.2 D.0和3
答案:C
解析:由题意可得,解得m=2.
7.(2019重庆三校联考)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴为直线x=1,且函数图象过点P(-1,7),则a,b的值分别为( )
A.2,4 B.-2,4 C.2,-4 D.-2,-4
答案:C
解析:由题意可得,解得
8.(2019河北衡水模拟)已知函数f(x)=(m+2)是幂函数,设a=log54,b=lo,c=0.5-0.2,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是( )
A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)
C.f(c)<f(b)<f(a) D.f(c)<f(a)<f(b)
答案:D
解析:∵f(x)=(m+2)为幂函数,∴m+2=1,解得m=-1,
∴f(x)=x-2,∴f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∵0<b=lo=log53<a<1,c=0.5-0.2>0.50=1,∴0<b<a<c,
∴f(c)<f(a)<f(b).故选D.
9.若关于x的不等式x2+ax+1≥0对于一切x恒成立,则a的最小值是( )
A.0 B.2 C.- D.-3
答案:C
解析:由x2+ax+1≥0得a≥-在x上恒成立.
令g(x)=-,则g(x)在区间上为增函数,所以g(x)max=g=-,所以a≥-
10.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为 .
答案:2
解析:因为函数y=(m2-m-1)x-5m-3既是幂函数,又是在区间(0,+∞)内的减函数,
所以解得m=2.
11.设二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为 .
答案:或-3
解析:由题意可知f(x)的图象的对称轴为x=-1.
当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.
可知f(2)>f(-3),
即f(x)max=f(2)=8a+1=4.故a=
当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,即a=-3.
综上所述,a=或a=-3.
12.(2019湖南邵阳高三大联考)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是 .
答案:(-∞,-1]
解析:由题意,可得(3x+a)3≤(2x)3,因为y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x,即x+a≤0在区间[a,a+2]上恒成立,所以2a+2≤0,即a≤-1.
能力提升
13.(2019浙江杭州模拟)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]上的最大值为-5,则a的值为( )
A B.1或 C.-1或 D.-5或
答案:D
解析:f(x)=-4-4a,其图象的对称轴为直线x=
①当1,即a≥2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,
∴f(x)max=f(1)=-4-a2.
令-4-a2=-5,得a=±1(舍去).
②当0<<1,即0<a<2时,f(x)max=f=-4a.
令-4a=-5,得a=
③当0,即a≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,
∴f(x)max=f(0)=-4a-a2.
令-4a-a2=-5,得a=-5或a=1(舍去).
综上所述,a的值为或-5.
14.已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是( )
A.a≤1 B.a≥1 C.a D.a
答案:C
解析:∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0,∴f(x)在区间(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.
由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),
∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.
设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有解得a故选C.
15.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.
其中正确的是( )
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
答案:B
解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.
对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.
由对称轴为x=-1知,b=2a.
又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.
16.已知函数f(x)=2ax2+3b(a,b∈R).若对于任意x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,则ab的最大值是 .
答案:
解析:(方法一)由|f(x)|≤1,得|f(1)|=|2a+3b|≤1.
所以6ab=2a·3b(2a+3b)2
且当2a=3b=±时,取得等号.
所以ab的最大值为
(方法二)由题设得
故
因此ab=(f(1)-f(0))f(0)
故ab的最大值为
高考预测
17.设甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;乙:0<a<1,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:当a=0时,得1>0,符合ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;
当a>0时,由ax2+2ax+1>0的解集是R可知Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1;
故0≤a<1,故甲是乙成立的必要不充分条件.
