
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2020年湖北省十堰市中考数学试卷 解析版
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2020年湖北省十堰市中考数学试卷
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.
1.(3分)的倒数是( )
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
2.(3分)某几何体的三视图如图所示,则此几何体是( )
A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.四棱柱
3.(3分)如图,将一副三角板重叠放在起,使直角顶点重合于点O.若∠AOC=130°,则∠BOD=( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
4.(3分)下列计算正确的是( )
A.a+a2=a3 B.a6÷a3=a2
C.(﹣a2b)3=a6b3 D.(a﹣2)(a+2)=a2﹣4
5.(3分)一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双,各种尺码鞋的销售量如下表所示:
鞋的尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量双
1
2
5
11
7
3
1
若每双鞋的销售利润相同,则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的( )
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
6.(3分)已知平行四边形ABCD中,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A.① B.② C.③ D.④
7.(3分)某厂计划加工180万个医用口罩,第一周按原计划的速度生产,一周后以原来速度的1.5倍生产,结果比原计划提前一周完成任务.若设原计划每周生产x万个口罩,则可列方程为( )
A.=+1 B.=﹣1
C.=+2 D.=﹣2
8.(3分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,OA⊥BC,垂足为E.若∠ADC=30°,AE=1,则BC=( )
A.2 B.4 C. D.2
9.(3分)根据图中数字的规律,若第n个图中出现数字396,则n=( )
A.17 B.18 C.19 D.20
10.(3分)如图,菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=和y=的图象上,若∠BAD=120°,则||=( )
A. B.3 C. D.
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)已知x+2y=3,则1+2x+4y= .
12.(3分)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线.若AE=3,△ABD的周长为13,则△ABC的周长为 .
13.(3分)某校即将举行30周年校庆,拟定了A,B,C,D四种活动方案,为了解学生对方案的意见,学校随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人只能赞成一种方案),将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图.若该校有学生3000人,请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为 .
14.(3分)对于实数m,n,定义运算m*n=(m+2)2﹣2n.若2*a=4*(﹣3),则a= .
15.(3分)如图,圆心角为90°的扇形ACB内,以BC为直径作半圆,连接AB.若阴影部分的面积为(π﹣1),则AC= .
16.(3分)如图,D是等边三角形ABC外一点.若BD=8,CD=6,连接AD,则AD的最大值与最小值的差为 .
三、解答题(本题有9个小题,共72分)
17.(5分)计算:()﹣1﹣|﹣2|+20200.
18.(6分)先化简,再求值:1﹣÷,其中a=﹣3,b=3.
19.(7分)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°,现有一架长为6m的梯子,当梯子底端离墙面2m时,此时人是否能够安全使用这架梯子(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin75°≈0.97,cos75°=0.26)?
20.(7分)某校开展“爱国主义教育”诵读活动,诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种,小文和小明从中随机选取一种诵读,且他们选取每一种读本的可能性相同.
(1)小文诵读《长征》的概率是 ;
(2)请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率.
21.(7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x13x2+x1x23=24,求k的值.
22.(8分)如图,AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为D,AD交半圆O于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AE=2DE,试判断以O,A,E,C为顶点的四边形的形状,并说明理由.
23.(10分)某企业接到生产一批设备的订单,要求不超过12天完成.这种设备的出厂价为1200元/台,该企业第一天生产22台设备,第二天开始,每天比前一天多生产2台.若干天后,每台设备的生产成本将会增加,设第x天(x为整数)的生产成本为m(元/台),m与x的关系如图所示.
(1)若第x天可以生产这种设备y台,则y与x的函数关系式为 ,x的取值范围为 ;
(2)第几天时,该企业当天的销售利润最大?最大利润为多少?
(3)求当天销售利润低于10800元的天数.
24.(10分)如图1,已知△ABC≌△EBD,∠ACB=∠EDB=90°,点D在AB上,连接CD并延长交AE于点F.
(1)猜想:线段AF与EF的数量关系为 ;
(2)探究:若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转,当∠CBE小于180°时,得到图2,连接CD并延长交AE于点F,则(1)中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)拓展:图1中,过点E作EG⊥CB,垂足为点G.当∠ABC的大小发生变化,其它条件不变时,若∠EBG=∠BAE,BC=6,直接写出AB的长.
25.(12分)已知抛物线y=ax2﹣2ax+c过点A(﹣1,0)和C(0,3),与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)如图1,E为线段BC上方的抛物线上一点,EF⊥BC,垂足为F,EM⊥x轴,垂足为M,交BC于点G.当BG=CF时,求△EFG的面积;
(3)如图2,AC与BD的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使∠OPB=∠AHB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2020年湖北省十堰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.
1.【解答】解:的倒数是4
故选:A.
2.【解答】解:∵主视图和左视图都是长方形,
∴此几何体为柱体,
∵俯视图是一个圆,
∴此几何体为圆柱,
故选:B.
3.【解答】解:∵∠AOC=130°,
∴∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=40°,
∴∠BOD=∠COD﹣∠BOC=50°.
故选:C.
4.【解答】解:A、a与a2不是同类项,不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意;
B、a6÷a3=a3,原计算错误,故此选项不符合题意;
C、(﹣a2b)3=﹣a6b3,原计算错误,故此选项不符合题意;
D、(a﹣2)(a+2)=a2﹣4,原计算正确,故此选项符合题意,
故选:D.
5.【解答】解:因为众数是在一组数据中出现次数最多的数,
又根据题意,每双鞋的销售利润相同,鞋店为销售额考虑,应关注卖出最多的鞋子的尺码,这样可以确定进货的数量,
所以该店主最应关注的销售数据是众数.
故选:C.
6.【解答】解:A.AB=BC,邻边相等的平行四边形是菱形,故A错误;
B.AC=BD,对角线相等的平行四边形是矩形,故B正确;
C.AC⊥BD,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故C错误;
D.AC平分∠BAD,对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形,故D错误.
故选:B.
7.【解答】解:∵原计划每周生产x万个口罩,一周后以原来速度的1.5倍生产,
∴一周后每周生产1.5x万个口罩,
依题意,得:=+1.
故选:A.
8.【解答】解:连接OC,如图,
∵∠ADC=30°,
∴∠AOC=60°,
∵OA⊥BC,
∴CE=BE,
在Rt△COE中,OE=OC,CE=OE,
∵OE=OA﹣AE=OC﹣1,
∴OC﹣1=OC,
∴OC=2,
∴OE=1,
∴CE=,
∴BC=2CE=2.
故选:D.
9.【解答】解:根据图形规律可得:
上三角形的数据的规律为:2n(1+n),若2n(1+n)=396,解得n不为正整数,舍去;
下左三角形的数据的规律为:n2﹣1,若n2﹣1=396,解得n不为正整数,舍去;
下中三角形的数据的规律为:2n﹣1,若2n﹣1=396,解得n不为正整数,舍去;
下右三角形的数据的规律为:n(n+4),若n(n+4)=396,解得n=18,或n=﹣22,舍去
故选:B.
10.【解答】解:根据对称性可知,反比例函数,的图象是中心对称图形,菱形是中心对称图形,
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,OD⊥OC,
如图:作CM⊥x轴于M,DN⊥x轴于N.连接OD,OC.
∵DO⊥OC,
∴∠COM+∠DON=90°,∠DON+∠ODN=90°,
∴∠COM=∠ODN,
∵∠CMO=∠DNO=90°,
∴△COM∽△ODN,
∴,
∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,∠BAD=120°,
∴∠OCD=60°,∠COD=90°,
∴,
∴,
∴,
∴.
故选:B.
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.【解答】解:∵x+2y=3,
∴2(x+2y)=2x+4y=2×3=6,
∴1+2x+4y=1+6=7,
故答案为:7.
12.【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,AE=3,
∴AC=2AE=6,AD=DC,
∵AB+BD+AD=13,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19.
故答案为:19.
13.【解答】解:根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人,占样本的22%,
∴样本容量为:44÷22%=200(人),
∴赞成方案B的人数占比为:,
∴该校学生赞成方案B的人数为:3000×60%=1800(人),
故答案为:1800人.
14.【解答】解:∵m*n=(m+2)2﹣2n,
∴2*a=(2+2)2﹣2a=16﹣2a,4*(﹣3)=(4+2)2﹣2×(﹣3)=42,
∵2*a=4*(﹣3),
∴16﹣2a=42,
解得a=﹣13,
故答案为:﹣13.
15.【解答】解:将原图区域划分为四部分,阴影部分分别为S1,S2;两块空白分别为S3,S4,连接DC,如下图所示:
由已知得:三角形ABC为等腰直角三角形,S1+S2=π﹣1,
∵BC为直径,
∴∠CDB=90°,即CD⊥AB,
故CD=DB=DA,
∴D点为中点,由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等.
设AC=BC=x,
则S扇ACB﹣S3﹣S4=S1+S2,
其中,
,
故:,
求解得:x1=2,x2=﹣2(舍去)
故答案:2.
16.【解答】解:如图,以CD为边向外作等边△CDE,连接BE,
∵△CDE和△ABC是等边三角形,
∴CE=CD,CB=CA,∠ECD=∠BCA=60°,
∴∠ECB=∠DCA,
在△ECB和△DCA中,,
∴△ECB≌△DCA(SAS),
∴BE=AD,
∵DE=CD=6,BD=8,
∴在△BDE中,BD﹣DE<BE<BD+DE,
即8﹣6<BE<8+6,
∴2<BE<14,
∴2<AD<14.
∴则AD的最大值与最小值的差为14﹣2=12.
故答案为:12.
三、解答题(本题有9个小题,共72分)
17.【解答】解:
=2﹣2+1
=1.
18.【解答】解:原式=1﹣÷
=1﹣•
=1﹣
=
=﹣,
当a=﹣3,b=3时,原式=﹣=﹣.
19.【解答】解:在Rt△ABC中,
∵cosα=,
∴AC=AB•cosα,
当α=50°时,AC=AB•cosα≈6×0.64≈3.84m;
当α=75°时,AC=AB•cosα≈6×0.26≈1.56m;
所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子底端与墙面的距离应该在1.56m~3.84m之间,
故当梯子底端离墙面2m时,此时人能够安全使用这架梯子.
20.【解答】解:(1)P(小文诵读《长征》)=;
故答案为:;
(2)记《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》分别为A、B、C,
列表如下:
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
由表格可知,共有9种等可能性结果,其中小文和小明诵读同一种读本的有3种结果,
∴小文和小明诵读同一种读本的概率为.
21.【解答】解:(1)由题意可知,△=(﹣4)2﹣4×1×(﹣2k+8)≥0,
整理得:16+8k﹣32≥0,
解得:k≥2,
∴k的取值范围是:k≥2.
故答案为:k≥2.
(2)由题意得:,
由韦达定理可知:x1+x2=4,x1x2=﹣2k+8,
故有:(﹣2k+8)[42﹣2(﹣2k+8)]=24,
整理得:k2﹣4k+3=0,
解得:k1=3,k2=1,
又由(1)中可知k≥2,
∴k的值为k=3.
故答案为:k=3.
22.【解答】解:(1)证明:连接OC,如下图所示:
∵CD为圆O的切线,∴∠OCD=90°,
∴∠D+∠OCD=180°,
∴OC∥AD,
∴∠DAC=∠ACO,
又OC=OA,
∴∠ACO=∠OAC,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC平分∠DAB.
(2)四边形EAOC为菱形,理由如下:
连接EC、BC、EO,过C点作CH⊥AB于H点,如下图所示,
由圆内接四边形对角互补可知,∠B+∠AEC=180°,
又∠AEC+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠B,
又∠B+∠CAB=90°,
∠DEC+∠DCE=90°,
∴∠CAB=∠DCE,
又∠CAB=∠CAE,
∴∠DCE=∠CAE,且∠D=∠D,
∴△DCE∽△DAC,
设DE=x,则AE=2x,AD=AE+DE=3x,
∴,∴CD2=AD•DE=3x2,
∴,
在Rt△ACD中,,
∴∠DAC=30°,
∴∠DAO=2∠DAC=60°,且OA=OE,
∴△OAE为等边三角形,
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知:∠EOC=2∠EAC=60°,
∴△EOC为等边三角形,
∴EA=AO=OE=EC=CO,
即EA=AO=OC=CE,
∴四边形EAOC为菱形.
23.【解答】解:(1)根据题意,得y与x的解析式为:y=22+2(x﹣1)=2x+20(1≤x≤12),
故答案为:y=2x+20,1≤x≤12;
(2)设当天的销售利润为w元,
则当1≤x≤6时,
w=(1200﹣800)(2x+20)=800x+8000,
∵800>0,
∴w随x的增大而增大,
∴当x=6时,w最大值=800×6+8000=12800.
当6<x≤12时,
设m=kx+b,将(6,800)和(10,1000)代入得:
,
解得:,
∴m与x的关系式为:m=50x+500,
∴w=[1200﹣(50x+500)]×(2x+20)
=﹣100x2+400x+14000
=﹣100(x﹣2)2+14400.
∵此时图象开口向下,在对称轴右侧,w随x的增大而减小,天数x为整数,
∴当x=7时,w有最大值,为11900元,
∵12800>11900,
∴当x=6时,w最大,且w最大值=12800元,
答:该厂第6天获得的利润最大,最大利润是12800元.
(3)由(2)可得,
1≤x≤6时,800x+8000<10800,
解得:x<3.5
则第1﹣3天当天利润低于10800元,
当6<x≤12时,﹣100(x﹣2)2+14400<10800,
解得x<﹣4(舍去),或x>8,
∴第9﹣12天当天利润低于10800元,
故当天销售利润低于10800元的天数有7天.
24.【解答】解:(1)延长DF到K点,并使FK=DC,连接KE,如图1所示,
∵△ABC≌△EBD,
∴DE=AC,BD=BC,
∴∠CDB=∠DCB,且∠CDB=∠ADF,
∴∠ADF=∠DCB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∵∠EDB=90°,
∴∠ADF+∠FDE=90°,
∴∠ACD=∠FDE,
∵FK+DF=DC+DF,
∴DK=CF,
在△ACF和△EDK中,,
∴△ACF≌△EDK(SAS),
∴KE=AF,∠K=∠AFC,
又∠AFC=∠KFE,
∴∠K=∠KFE
∴KE=EF
∴AF=EF,
故AF与EF的数量关系为:AF=EF.
故答案为:AF=EF;
(2)仍旧成立,理由如下:
延长DF到K点,并使FK=DC,连接KE,如图2所示,
设BD延长线DM交AE于M点,
∵△ABC≌△EBD,
∴DE=AC,BD=BC,
∴∠CDB=∠DCB,且∠CDB=∠MDF,
∴∠MDF=∠DCB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∵∠EDB=90°,
∴∠MDF+∠FDE=90°,
∴∠ACD=∠FDE,
∵FK+DF=DC+DF,
∴DK=CF,
在△ACF和△EDK中,,
∴△ACF≌△EDK(SAS),
∴KE=AF,∠K=∠AFC,
又∠AFC=∠KFE,
∴∠K=∠KFE,
∴KE=EF,
∴AF=EF,
故AF与EF的数量关系为:AF=EF.
(3)如图3所示,延长DF到K点,并使FK=DC,连接KE,过点E作EG⊥BC交CB的延长线于G,
∵BA=BE,
∴∠BAE=∠BEA,
∵∠BAE=∠EBG,
∴∠BEA=∠EBG,
∴AE∥CG,
∴∠AEG+∠G=180°,
∴∠AEG=90°,
∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°,
∴四边形AEGC为矩形,
∴AC=EG,且AB=BE,
∴Rt△ACB≌Rt△EGB(HL),
∴BG=BC=6,∠ABC=∠EBG,
又∵ED=AC=EG,且EB=EB,
∴Rt△EDB≌Rt△EGB(HL),
∴DB=GB=6,∠EBG=∠ABE,
∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°,
∴∠BAC=30°,
∴在Rt△ABC中,由30°所对的直角边等于斜边的一半可知:AB=2BC=12.
25.【解答】(1)把点A(﹣1,0),C(0,3)代入y=ax2﹣2ax+c中,,
解得,
∴y=﹣x2+2x+3,
当时,y=4,
∴D(1,4);
(2)如图1,∵抛物线y=﹣x2+2x+3,
令y=0,
∴x=﹣1,或x=3,
∴B(3,0).
设BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将点C(0,3),B(3,0)代入,得,
解得,
∴y=﹣x+3.
∵EF⊥CB.
设直线EF的解析式为y=x+b,设点E的坐标为(m,﹣m2+2m+3),
将点E坐标代入y=x+b中,得b=﹣m2+m+3,
∴y=x﹣m2+m+3.
∴.
∴.
把x=m代入y=﹣x+3,得y=﹣m+3,
∴G(m,﹣m+3).
∵BG=CF.
∴BG2=CF2,即.
解得m=2或m=﹣3.
∵点E是BC上方抛物线上的点,
∴m=﹣3,舍去.
∴点E(2,3),F(1,2),G(2,1),,
∴;
(3)如图2,过点A作AN⊥HB,
∵点D(1,4),B(3,0),
∴yDB=﹣2x+6.
∵点A(﹣1,0),点C(0,3),
∴yAC=3x+3,
∴,
∴.
设,把(﹣1,0)代入,得b=,
∴,
∴,
∴,
∴=,
∴AN=HN.
∴∠H=45°.
设点p(n,﹣n2+2n+3).
过点P作PR⊥x轴于点R,在x轴上作点S使得RS=PR,
∴∠RSP=45°且点S的坐标为(﹣n2+3n+3,0).
若∠OPB=∠AHB=45°
在△OPS和△OPB中,∠POS=∠POB,∠OSP=∠OPB,
∴△OPS∽△OPB.
∴.
∴OP2=OB•OS.
∴n2+(n+1)2(n﹣3)2=3•(﹣n2+2n+3).
∴n=0或.
∴P1(0,3),,.
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.
1.(3分)的倒数是( )
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
2.(3分)某几何体的三视图如图所示,则此几何体是( )
A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.四棱柱
3.(3分)如图,将一副三角板重叠放在起,使直角顶点重合于点O.若∠AOC=130°,则∠BOD=( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
4.(3分)下列计算正确的是( )
A.a+a2=a3 B.a6÷a3=a2
C.(﹣a2b)3=a6b3 D.(a﹣2)(a+2)=a2﹣4
5.(3分)一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双,各种尺码鞋的销售量如下表所示:
鞋的尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量双
1
2
5
11
7
3
1
若每双鞋的销售利润相同,则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的( )
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
6.(3分)已知平行四边形ABCD中,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A.① B.② C.③ D.④
7.(3分)某厂计划加工180万个医用口罩,第一周按原计划的速度生产,一周后以原来速度的1.5倍生产,结果比原计划提前一周完成任务.若设原计划每周生产x万个口罩,则可列方程为( )
A.=+1 B.=﹣1
C.=+2 D.=﹣2
8.(3分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,OA⊥BC,垂足为E.若∠ADC=30°,AE=1,则BC=( )
A.2 B.4 C. D.2
9.(3分)根据图中数字的规律,若第n个图中出现数字396,则n=( )
A.17 B.18 C.19 D.20
10.(3分)如图,菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=和y=的图象上,若∠BAD=120°,则||=( )
A. B.3 C. D.
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)已知x+2y=3,则1+2x+4y= .
12.(3分)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线.若AE=3,△ABD的周长为13,则△ABC的周长为 .
13.(3分)某校即将举行30周年校庆,拟定了A,B,C,D四种活动方案,为了解学生对方案的意见,学校随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人只能赞成一种方案),将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图.若该校有学生3000人,请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为 .
14.(3分)对于实数m,n,定义运算m*n=(m+2)2﹣2n.若2*a=4*(﹣3),则a= .
15.(3分)如图,圆心角为90°的扇形ACB内,以BC为直径作半圆,连接AB.若阴影部分的面积为(π﹣1),则AC= .
16.(3分)如图,D是等边三角形ABC外一点.若BD=8,CD=6,连接AD,则AD的最大值与最小值的差为 .
三、解答题(本题有9个小题,共72分)
17.(5分)计算:()﹣1﹣|﹣2|+20200.
18.(6分)先化简,再求值:1﹣÷,其中a=﹣3,b=3.
19.(7分)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°,现有一架长为6m的梯子,当梯子底端离墙面2m时,此时人是否能够安全使用这架梯子(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin75°≈0.97,cos75°=0.26)?
20.(7分)某校开展“爱国主义教育”诵读活动,诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种,小文和小明从中随机选取一种诵读,且他们选取每一种读本的可能性相同.
(1)小文诵读《长征》的概率是 ;
(2)请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率.
21.(7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x13x2+x1x23=24,求k的值.
22.(8分)如图,AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为D,AD交半圆O于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AE=2DE,试判断以O,A,E,C为顶点的四边形的形状,并说明理由.
23.(10分)某企业接到生产一批设备的订单,要求不超过12天完成.这种设备的出厂价为1200元/台,该企业第一天生产22台设备,第二天开始,每天比前一天多生产2台.若干天后,每台设备的生产成本将会增加,设第x天(x为整数)的生产成本为m(元/台),m与x的关系如图所示.
(1)若第x天可以生产这种设备y台,则y与x的函数关系式为 ,x的取值范围为 ;
(2)第几天时,该企业当天的销售利润最大?最大利润为多少?
(3)求当天销售利润低于10800元的天数.
24.(10分)如图1,已知△ABC≌△EBD,∠ACB=∠EDB=90°,点D在AB上,连接CD并延长交AE于点F.
(1)猜想:线段AF与EF的数量关系为 ;
(2)探究:若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转,当∠CBE小于180°时,得到图2,连接CD并延长交AE于点F,则(1)中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)拓展:图1中,过点E作EG⊥CB,垂足为点G.当∠ABC的大小发生变化,其它条件不变时,若∠EBG=∠BAE,BC=6,直接写出AB的长.
25.(12分)已知抛物线y=ax2﹣2ax+c过点A(﹣1,0)和C(0,3),与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)如图1,E为线段BC上方的抛物线上一点,EF⊥BC,垂足为F,EM⊥x轴,垂足为M,交BC于点G.当BG=CF时,求△EFG的面积;
(3)如图2,AC与BD的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使∠OPB=∠AHB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2020年湖北省十堰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.
1.【解答】解:的倒数是4
故选:A.
2.【解答】解:∵主视图和左视图都是长方形,
∴此几何体为柱体,
∵俯视图是一个圆,
∴此几何体为圆柱,
故选:B.
3.【解答】解:∵∠AOC=130°,
∴∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=40°,
∴∠BOD=∠COD﹣∠BOC=50°.
故选:C.
4.【解答】解:A、a与a2不是同类项,不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意;
B、a6÷a3=a3,原计算错误,故此选项不符合题意;
C、(﹣a2b)3=﹣a6b3,原计算错误,故此选项不符合题意;
D、(a﹣2)(a+2)=a2﹣4,原计算正确,故此选项符合题意,
故选:D.
5.【解答】解:因为众数是在一组数据中出现次数最多的数,
又根据题意,每双鞋的销售利润相同,鞋店为销售额考虑,应关注卖出最多的鞋子的尺码,这样可以确定进货的数量,
所以该店主最应关注的销售数据是众数.
故选:C.
6.【解答】解:A.AB=BC,邻边相等的平行四边形是菱形,故A错误;
B.AC=BD,对角线相等的平行四边形是矩形,故B正确;
C.AC⊥BD,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故C错误;
D.AC平分∠BAD,对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形,故D错误.
故选:B.
7.【解答】解:∵原计划每周生产x万个口罩,一周后以原来速度的1.5倍生产,
∴一周后每周生产1.5x万个口罩,
依题意,得:=+1.
故选:A.
8.【解答】解:连接OC,如图,
∵∠ADC=30°,
∴∠AOC=60°,
∵OA⊥BC,
∴CE=BE,
在Rt△COE中,OE=OC,CE=OE,
∵OE=OA﹣AE=OC﹣1,
∴OC﹣1=OC,
∴OC=2,
∴OE=1,
∴CE=,
∴BC=2CE=2.
故选:D.
9.【解答】解:根据图形规律可得:
上三角形的数据的规律为:2n(1+n),若2n(1+n)=396,解得n不为正整数,舍去;
下左三角形的数据的规律为:n2﹣1,若n2﹣1=396,解得n不为正整数,舍去;
下中三角形的数据的规律为:2n﹣1,若2n﹣1=396,解得n不为正整数,舍去;
下右三角形的数据的规律为:n(n+4),若n(n+4)=396,解得n=18,或n=﹣22,舍去
故选:B.
10.【解答】解:根据对称性可知,反比例函数,的图象是中心对称图形,菱形是中心对称图形,
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,OD⊥OC,
如图:作CM⊥x轴于M,DN⊥x轴于N.连接OD,OC.
∵DO⊥OC,
∴∠COM+∠DON=90°,∠DON+∠ODN=90°,
∴∠COM=∠ODN,
∵∠CMO=∠DNO=90°,
∴△COM∽△ODN,
∴,
∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,∠BAD=120°,
∴∠OCD=60°,∠COD=90°,
∴,
∴,
∴,
∴.
故选:B.
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.【解答】解:∵x+2y=3,
∴2(x+2y)=2x+4y=2×3=6,
∴1+2x+4y=1+6=7,
故答案为:7.
12.【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,AE=3,
∴AC=2AE=6,AD=DC,
∵AB+BD+AD=13,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19.
故答案为:19.
13.【解答】解:根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人,占样本的22%,
∴样本容量为:44÷22%=200(人),
∴赞成方案B的人数占比为:,
∴该校学生赞成方案B的人数为:3000×60%=1800(人),
故答案为:1800人.
14.【解答】解:∵m*n=(m+2)2﹣2n,
∴2*a=(2+2)2﹣2a=16﹣2a,4*(﹣3)=(4+2)2﹣2×(﹣3)=42,
∵2*a=4*(﹣3),
∴16﹣2a=42,
解得a=﹣13,
故答案为:﹣13.
15.【解答】解:将原图区域划分为四部分,阴影部分分别为S1,S2;两块空白分别为S3,S4,连接DC,如下图所示:
由已知得:三角形ABC为等腰直角三角形,S1+S2=π﹣1,
∵BC为直径,
∴∠CDB=90°,即CD⊥AB,
故CD=DB=DA,
∴D点为中点,由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等.
设AC=BC=x,
则S扇ACB﹣S3﹣S4=S1+S2,
其中,
,
故:,
求解得:x1=2,x2=﹣2(舍去)
故答案:2.
16.【解答】解:如图,以CD为边向外作等边△CDE,连接BE,
∵△CDE和△ABC是等边三角形,
∴CE=CD,CB=CA,∠ECD=∠BCA=60°,
∴∠ECB=∠DCA,
在△ECB和△DCA中,,
∴△ECB≌△DCA(SAS),
∴BE=AD,
∵DE=CD=6,BD=8,
∴在△BDE中,BD﹣DE<BE<BD+DE,
即8﹣6<BE<8+6,
∴2<BE<14,
∴2<AD<14.
∴则AD的最大值与最小值的差为14﹣2=12.
故答案为:12.
三、解答题(本题有9个小题,共72分)
17.【解答】解:
=2﹣2+1
=1.
18.【解答】解:原式=1﹣÷
=1﹣•
=1﹣
=
=﹣,
当a=﹣3,b=3时,原式=﹣=﹣.
19.【解答】解:在Rt△ABC中,
∵cosα=,
∴AC=AB•cosα,
当α=50°时,AC=AB•cosα≈6×0.64≈3.84m;
当α=75°时,AC=AB•cosα≈6×0.26≈1.56m;
所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子底端与墙面的距离应该在1.56m~3.84m之间,
故当梯子底端离墙面2m时,此时人能够安全使用这架梯子.
20.【解答】解:(1)P(小文诵读《长征》)=;
故答案为:;
(2)记《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》分别为A、B、C,
列表如下:
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
由表格可知,共有9种等可能性结果,其中小文和小明诵读同一种读本的有3种结果,
∴小文和小明诵读同一种读本的概率为.
21.【解答】解:(1)由题意可知,△=(﹣4)2﹣4×1×(﹣2k+8)≥0,
整理得:16+8k﹣32≥0,
解得:k≥2,
∴k的取值范围是:k≥2.
故答案为:k≥2.
(2)由题意得:,
由韦达定理可知:x1+x2=4,x1x2=﹣2k+8,
故有:(﹣2k+8)[42﹣2(﹣2k+8)]=24,
整理得:k2﹣4k+3=0,
解得:k1=3,k2=1,
又由(1)中可知k≥2,
∴k的值为k=3.
故答案为:k=3.
22.【解答】解:(1)证明:连接OC,如下图所示:
∵CD为圆O的切线,∴∠OCD=90°,
∴∠D+∠OCD=180°,
∴OC∥AD,
∴∠DAC=∠ACO,
又OC=OA,
∴∠ACO=∠OAC,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC平分∠DAB.
(2)四边形EAOC为菱形,理由如下:
连接EC、BC、EO,过C点作CH⊥AB于H点,如下图所示,
由圆内接四边形对角互补可知,∠B+∠AEC=180°,
又∠AEC+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠B,
又∠B+∠CAB=90°,
∠DEC+∠DCE=90°,
∴∠CAB=∠DCE,
又∠CAB=∠CAE,
∴∠DCE=∠CAE,且∠D=∠D,
∴△DCE∽△DAC,
设DE=x,则AE=2x,AD=AE+DE=3x,
∴,∴CD2=AD•DE=3x2,
∴,
在Rt△ACD中,,
∴∠DAC=30°,
∴∠DAO=2∠DAC=60°,且OA=OE,
∴△OAE为等边三角形,
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知:∠EOC=2∠EAC=60°,
∴△EOC为等边三角形,
∴EA=AO=OE=EC=CO,
即EA=AO=OC=CE,
∴四边形EAOC为菱形.
23.【解答】解:(1)根据题意,得y与x的解析式为:y=22+2(x﹣1)=2x+20(1≤x≤12),
故答案为:y=2x+20,1≤x≤12;
(2)设当天的销售利润为w元,
则当1≤x≤6时,
w=(1200﹣800)(2x+20)=800x+8000,
∵800>0,
∴w随x的增大而增大,
∴当x=6时,w最大值=800×6+8000=12800.
当6<x≤12时,
设m=kx+b,将(6,800)和(10,1000)代入得:
,
解得:,
∴m与x的关系式为:m=50x+500,
∴w=[1200﹣(50x+500)]×(2x+20)
=﹣100x2+400x+14000
=﹣100(x﹣2)2+14400.
∵此时图象开口向下,在对称轴右侧,w随x的增大而减小,天数x为整数,
∴当x=7时,w有最大值,为11900元,
∵12800>11900,
∴当x=6时,w最大,且w最大值=12800元,
答:该厂第6天获得的利润最大,最大利润是12800元.
(3)由(2)可得,
1≤x≤6时,800x+8000<10800,
解得:x<3.5
则第1﹣3天当天利润低于10800元,
当6<x≤12时,﹣100(x﹣2)2+14400<10800,
解得x<﹣4(舍去),或x>8,
∴第9﹣12天当天利润低于10800元,
故当天销售利润低于10800元的天数有7天.
24.【解答】解:(1)延长DF到K点,并使FK=DC,连接KE,如图1所示,
∵△ABC≌△EBD,
∴DE=AC,BD=BC,
∴∠CDB=∠DCB,且∠CDB=∠ADF,
∴∠ADF=∠DCB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∵∠EDB=90°,
∴∠ADF+∠FDE=90°,
∴∠ACD=∠FDE,
∵FK+DF=DC+DF,
∴DK=CF,
在△ACF和△EDK中,,
∴△ACF≌△EDK(SAS),
∴KE=AF,∠K=∠AFC,
又∠AFC=∠KFE,
∴∠K=∠KFE
∴KE=EF
∴AF=EF,
故AF与EF的数量关系为:AF=EF.
故答案为:AF=EF;
(2)仍旧成立,理由如下:
延长DF到K点,并使FK=DC,连接KE,如图2所示,
设BD延长线DM交AE于M点,
∵△ABC≌△EBD,
∴DE=AC,BD=BC,
∴∠CDB=∠DCB,且∠CDB=∠MDF,
∴∠MDF=∠DCB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∵∠EDB=90°,
∴∠MDF+∠FDE=90°,
∴∠ACD=∠FDE,
∵FK+DF=DC+DF,
∴DK=CF,
在△ACF和△EDK中,,
∴△ACF≌△EDK(SAS),
∴KE=AF,∠K=∠AFC,
又∠AFC=∠KFE,
∴∠K=∠KFE,
∴KE=EF,
∴AF=EF,
故AF与EF的数量关系为:AF=EF.
(3)如图3所示,延长DF到K点,并使FK=DC,连接KE,过点E作EG⊥BC交CB的延长线于G,
∵BA=BE,
∴∠BAE=∠BEA,
∵∠BAE=∠EBG,
∴∠BEA=∠EBG,
∴AE∥CG,
∴∠AEG+∠G=180°,
∴∠AEG=90°,
∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°,
∴四边形AEGC为矩形,
∴AC=EG,且AB=BE,
∴Rt△ACB≌Rt△EGB(HL),
∴BG=BC=6,∠ABC=∠EBG,
又∵ED=AC=EG,且EB=EB,
∴Rt△EDB≌Rt△EGB(HL),
∴DB=GB=6,∠EBG=∠ABE,
∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°,
∴∠BAC=30°,
∴在Rt△ABC中,由30°所对的直角边等于斜边的一半可知:AB=2BC=12.
25.【解答】(1)把点A(﹣1,0),C(0,3)代入y=ax2﹣2ax+c中,,
解得,
∴y=﹣x2+2x+3,
当时,y=4,
∴D(1,4);
(2)如图1,∵抛物线y=﹣x2+2x+3,
令y=0,
∴x=﹣1,或x=3,
∴B(3,0).
设BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将点C(0,3),B(3,0)代入,得,
解得,
∴y=﹣x+3.
∵EF⊥CB.
设直线EF的解析式为y=x+b,设点E的坐标为(m,﹣m2+2m+3),
将点E坐标代入y=x+b中,得b=﹣m2+m+3,
∴y=x﹣m2+m+3.
∴.
∴.
把x=m代入y=﹣x+3,得y=﹣m+3,
∴G(m,﹣m+3).
∵BG=CF.
∴BG2=CF2,即.
解得m=2或m=﹣3.
∵点E是BC上方抛物线上的点,
∴m=﹣3,舍去.
∴点E(2,3),F(1,2),G(2,1),,
∴;
(3)如图2,过点A作AN⊥HB,
∵点D(1,4),B(3,0),
∴yDB=﹣2x+6.
∵点A(﹣1,0),点C(0,3),
∴yAC=3x+3,
∴,
∴.
设,把(﹣1,0)代入,得b=,
∴,
∴,
∴,
∴=,
∴AN=HN.
∴∠H=45°.
设点p(n,﹣n2+2n+3).
过点P作PR⊥x轴于点R,在x轴上作点S使得RS=PR,
∴∠RSP=45°且点S的坐标为(﹣n2+3n+3,0).
若∠OPB=∠AHB=45°
在△OPS和△OPB中,∠POS=∠POB,∠OSP=∠OPB,
∴△OPS∽△OPB.
∴.
∴OP2=OB•OS.
∴n2+(n+1)2(n﹣3)2=3•(﹣n2+2n+3).
∴n=0或.
∴P1(0,3),,.