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    人教版九年级数学上册24.1.2:垂径定理的推论以及应用 课件(共36张PPT)
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    初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径课文配套ppt课件

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    这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径课文配套ppt课件,共36页。PPT课件主要包含了复习回顾等内容,欢迎下载使用。

    垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦对的两条弧。
    (1)过圆心(2)垂直于弦
    (3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧
    如图,在下列五个条件中:
    具备其中两个条件,能推出其余三个结论吗?
    你能写出相应的结论多少个?
    垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
    平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
    平分弦所对的一条弧的直径,垂直弦,平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
    弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
    垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
    平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
    平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直弦、平分弦.
    AB是⊙O的一条弦(非直径),且AM=BM.
    (2) 你能发现图中有哪些等量关系?
    (1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
    xxx同学发现图中有:
    如图,xx同学的理由是:
    ∵OA=OB,OM=OM,AM=BM
    ∴△OAM≌△OBM.
    ∴∠AMO= ∠ BMO.
    ∵⊙O关于直径CD对称,
    ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
    垂径定理的逆定理(一)
    ① 过圆心 ③ 平分弦 (不是直径)
    ② 垂直于弦④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
    (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
    ∵ CD是直径,
    一个圆的任意两条直径总是互相平分,但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径,结论不一定成立.
    为什么强调弦不是直径?“不是直径”这个条件能去掉吗?
    ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧
    ③ 平分弦 ② 垂直于弦⑤ 平分弦所对的劣弧
    (2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直弦、平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
    ① 直径过圆心 ⑤ 平分弦所对的劣弧
    ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧② 垂直于弦
    ② 垂直于弦③ 平分弦
    ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
    (3)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
    (4)若 ,CD是直径,则 、 、 .
    (1)若CD⊥AB, CD是直径, 则 、 、 .
    (2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 .
    (3)若CD⊥AB, AM=MB, 则 、 、 .
    填空:1、如图:已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,若_____________________________________________________,则CE=DE(只需填写一个你认为适当的条件)2、如图:已知AB是⊙O的弦,OB=4cm,∠ABO=300,则O到AB的距离是___________cm,AB=_________cm.
    (1)平分弦的直径,平分这条弦所对的弧。
    (2)平分弦的直线,必定过圆心。
    (3)一条直线平分弦(这条弦不是直径), 那么这 条直线垂直这条弦。
    (4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
    (5)平分弧的直线,平分这条弧所对的 弦。
    (6)弦垂直于直径,这条直径就被弦平分。
    (7)平分弦的直径垂直于弦
    问题3、如图,已知⊙O中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离(弦心距)为3 ㎝,求圆O的半径。
    (2)在半径为5 ㎝的圆O中,有长8 ㎝ 的弦AB,求点O与AB的距离。  
    (3)在半径为5 ㎝的圆O中,圆心O 到弦AB的距离为3 ㎝,求AB的长。
    d + h = r
    a、d、r、h之间的关系是
    (4)⊙O中, 直径FG ⊥弦AB于E,且AB的长为8㎝,EF长h为2 ㎝,求⊙O的半径。
    对于一个圆中的弦长a、弦心距d、圆半径r,弓高h这四个量中,只要已知其中任意两个量,就可以求出其他两个量。
    作垂径,连半径是圆中常用的辅助线。垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.
    半径、弦长、弦心距、弓形高“知二求二”
    1.如图,水平放置的一个油管的截面半径为 13cm,其中有油部分油面宽AB=24cm,则截面上有油部分油面高CD= ——————
    半径、弦长、弓形的高、圆心到弦的距离
    已知:在⊙O中,弦AB //CD, 求证:
    证明:过点O作OM ⊥AB于E,交⊙ O于M,并反向延长交CD于F
    垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
    已知⊙O的直径是10 cm,弦AB=8 cm ,弦CD//AB且CD=6cm,(1)请在图中画出CD可能的位置(2)求弦AB与CD之间的距离。
    如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一个动点,求OP的取值范围.
    我发现了…… 我学会了…… 我的体会是…… 我的困难是…… 我……
    Summary resnsideratin
    2、垂径定理及其推论的图式
    根据垂径定理与推论可知:对于一个圆和一条直线来说,如果具备:① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧。那么,由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。“知二推三”。注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加″不是直径”的限制.
    1、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在直线.)
         垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
               
    3、在圆中解决有关弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.
    7.如图,点A、B是⊙O上两点,AB=10,点P是⊙ O上的动点,(P与A,B不重合),连接AP、PB,过点O分别OE⊥AP于E,OF⊥PB于F,则EF= ——。
    如图所示,已知⊙O的直径为4,M是弧AB的中点,MN为玄且MN=2√3,MN交AB于点P,求∠APM的度数.
    解:连接OM交AB于点E,∵M是弧的中点,∴OM⊥AB于E.过点O作OF⊥MN于F,由垂径定理得:
    2次。 把AB放在圆上不同的位置,分别沿CD作两条直线,其交点就是圆心。 其原理为:弦的垂直平分线过圆心。
    思考:一条弦的垂直平分线必过圆心吗?
    再想一想:用什么方法能找出圆的圆心呢?
    如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用____次,可以找到图形工件的圆心?为什么?
    如图所示,要把破残的圆片复制完整.已知弧上的三点A、B、C.(1)用尺规作图法找出 BAC 所在圆的圆心.(保留作图痕迹,不写作法)(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=8cm,腰AB=5cm.求圆片的半径R.
    考点:垂径定理;等腰三角形的性质;勾股定理;作图.分析:(1)作图思路:可根据AB,AC的垂直平分线来确定圆心.解答:(1)分别作AB、AC的垂直平分线,设交点为O则O为所求圆的圆心
    解答: (2)连接AO交BC于E,∵AB=AC∴AE⊥BC,BE=1/2 BC=4在Rt△ABE中,AE= √AB2−BE2 = √52−42 =3设⊙O的半径为R,在Rt△BEO中OB2=BE2+OE2,即R2=42+(R-3)2∴R2=16+R2-6R+9∴R=25/6 (cm)所以所求圆的半径为25/6 cm.
    考点:垂径定理;等腰三角形的性质;勾股定理;作图.
    分析:(2)本题可通过构建直角三角形来求解.连接AO交BC于E.先求出AE的值,然后在直角三角形OBE中,用半径表示出OE,OB,然后根据勾股定理求出半径的值.
    等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线.
    3. 作AC、BC的垂直平分线.
    4. 三条垂直平分线交于一点O.
    作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n,交于O点;以O为圆心,OA为半径作圆.
    弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
    问题 :你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
    赵州桥主桥拱的半径是多少?
    的中点,CD就是拱高。
    AB=37.4,CD=7.2 ,∴AD=18.7,设OA=OC=R
    OD=OC-CD=R-7.2.
    在Rt△AOD中,OA2 = AD2 + OD2
    即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9
    因此,赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。
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