数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系多媒体教学ppt课件

这是一份数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系多媒体教学ppt课件，共25页。
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
(b2-4ac≥ 0)
1.     填表，观察、猜想
问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。
的两根是 , ,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律：
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= , X1x2=
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
一元二次方程根与系数关系的证明：
1、 x2 - 2x - 1=0
2、 2x2 - 3x + =0
3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 = 4
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：
(1) (2) x12+x22
由题意可知x1+x2= - , x1 · x2=-3
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2
∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2
变式 练习： 设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（３）（x1- x2）2
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数关系，得x1●2＝3k
即 2 x1 ＝－6
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
解：设方程的另一个根为x1,
则x1+1= ,
∴ x1= ,
又x1●1= ,
∴ m= 3x1 = 16
x1+x2= - 2 , x1 · x2=
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
练习:2.以2和 －３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：　　　　　　　　　　　　　　　　
练习3 　已知两个数的和是1，积是-2，则 两 个数是 。
解法(一):设两数分别为x,y则:
ｘ＝－1y=2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:
　已知两个数的和与积，求两数　
练习4 已知方程　　　　　　　　的两个实数根 是　　　且　　　　　 求k的值。
解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8当k=4时， △＜0当k=-2时，△＞0∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2
∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4
由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。
拓展3：方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
△≥0X1X2＞0X1+X2＞0
△≥0X1X2＞0X1+X2＜0
通过本节课的学习你学到了那些知识？
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。