2020年湖南省益阳市中考数学试卷 解析版

2020年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）四个实数1，0，，﹣3中，最大的数是（　　）
A．1 B．0 C． D．﹣3
2．（4分）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（4分）一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3，4，且这组数据的平均数为4，则这组数据的中位数为（　　）
A．7 B．4 C．3.5 D．3
5．（4分）同时满足二元一次方程x﹣y＝9和4x+3y＝1的x，y的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）下列因式分解正确的是（　　）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
7．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．k＜0 B．b＝﹣1
C．y随x的增大而减小 D．当x＞2时，kx+b＜0
8．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（　　）

A．10 B．8 C．7 D．6
9．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（　　）

A．∠DAE＝30° B．∠BAC＝45° C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功定点于距离地球36000千米的地球同步轨道．将“36000”用科学记数法表示为　 　．
12．（4分）如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为　 　．

13．（4分）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为　 　cm．

14．（4分）反比例函数y＝的图象经过点P（﹣2，3），则k＝　 　．
15．（4分）小朋友甲的口袋中有6粒弹珠，其中2粒红色，4粒绿色，他随机拿出1颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是　 　．
16．（4分）一个多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是　 　．
17．（4分）若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是　 　（写出一个符合条件的即可）．
18．（4分）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元．

三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣3）2+2×（﹣1）﹣|﹣2|．
20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣2．
21．（8分）如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于C，D．求证：AC＝BD．

22．（10分）为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：
笔画数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
字数
4
8
10
16
14
20
24
36
16
14
11
9
10
7
1
请解答下列问题：
（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？
（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：
分组
笔画数x（画）
A字数（个）
A组
1≤x≤3
22
B组
4≤x≤6
m
C组
7≤x≤9
76
D组
10≤x≤12
n
E组
13≤x≤15
18
请确定上表中的m、n的值及扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数；
（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7～9画（C组）的字数有多少个？

23．（10分）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α；
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）

24．（10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．
【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】
（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；
（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
…
（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．

26．（12分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．


2020年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：四个实数1，0，，﹣3中，
﹣3＜0＜1＜，
故最大的数是：．
故选：C．
2．【解答】解：解不等式x+2≥0，得：x≥﹣2，
又x＜1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

故选：A．
3．【解答】解：从上面看该几何体，选项D的图形符合题意，
故选：D．
4．【解答】解：根据题意知，另外一个数为4×4﹣（2+3+4）＝7，
所以这组数据为2，3，4，7，
则这组数据的中位数为＝3.5，
故选：C．
5．【解答】解：由题意得：，
由①得，x＝9+y③，
把③代入②得，4（9+y）+3y＝1，
解得，y＝﹣5，代入③得，x＝9﹣5＝4，
∴方程组的解为，
故选：A．
6．【解答】解：A、a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）2，故此选项错误；
B、a2﹣9b2＝（a﹣3b）（a+3b），故此选项错误；
C、a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，正确；
D、a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1），故此选项错误；
故选：C．
7．【解答】解：如图所示：A、图象经过第一、三、四象限，则k＞0，故此选项错误；
B、图象与y轴交于点（0，﹣1），故b＝﹣1，正确；
C、k＞0，y随x的增大而增大，故此选项错误；
D、当x＞2时，kx+b＞0，故此选项错误；
故选：B．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，
即1＜AB＜7，
∴AB的长可能为6．
故选：D．
9．【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60°，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠CBE＝30°，故选项A不合题意，
∴cos∠DAC＝＝，故选项D不合题意，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴DE＝CE＝CD＝AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴，故选项C不合题意，
故选：B．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．【解答】解：36000＝3.6×104．
故答案为：3.6×104．
12．【解答】解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故答案为：132°．
13．【解答】解：
法一：∵的长为36cm，
∴＝36，
∴OA＝，
则的长为：＝×＝12（cm）；
法二：∵与所对应的圆心角度数的比值为270°：90°＝3：1，
∴与的弧长之比为3：1，
∴的弧长为36÷3＝12（cm），
答：的长为12cm．
故答案为：12．
14．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），
∴3＝，解得k＝﹣5．
故答案是：﹣5．
15．【解答】解：∵口袋中有6粒弹珠，随机拿出1颗共有6种等可能结果，其中送出的弹珠颜色为红色的有2种结果，
∴送出的弹珠颜色为红色的概率是＝，
故答案为：．
16．【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：5．
17．【解答】解：若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
18．【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解答】解：原式＝9+2﹣2﹣2
＝7．
20．【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝＝2．
21．【解答】证明：∵OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，
∴OM⊥AB，
∵MA＝MB，
∴△ABO是等腰三角形，
∴OA＝OB，
∵OC＝OD，
∴OA﹣OC＝OB﹣OD，即：AC＝BD．
22．【解答】解：（1）被统计汉字笔画数的众数是8画；
（2）m＝16+14+20＝50，n＝14+11+9＝34，
∵被抽查的汉子个数为4+8+10+16+14+20+24+36+16+14+11+9+10+7+1＝200（个），
∴扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数为360°×＝90°；
（3）估计笔画数在7～9画（C组）的字数有3500×＝1330（个）．
23．【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，
∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，
∴α＝45°．
答：斜坡CD的坡角α为45°；
（2）由（1）可知：
CH＝DH＝12，α＝45°．
∴∠PCH＝∠PCD+α＝26°+45°＝71°，
在Rt△PCH中，∵tan∠PCH＝＝≈2.90，
∴PD≈22.8（米）．
22.8＞18，
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
24．【解答】解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，
由题意得，＝，
解得：x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解．
答：原来生产防护服的工人有20人；

（2）设还需要生产y天才能完成任务．
＝5（套），
即每人每小时生产5套防护服．
由题意得，10×650+20×5×10y≥14500，
解得y≥8．
答：至少还需要生产8天才能完成任务．
25．【解答】解：（1）当P与C（0，5）重合，
∴PH＝5，PF＝＝5，
∴PH＝PF，
∴点P运动过程中经过点C．

（2）由题意：y2＝（x﹣4）2+（y﹣2）2，
整理得，y＝x2﹣2x+5，
∴函数解析式为y＝x2﹣2x+5，
当x＝0时，y＝5，
当x＝2时，y＝2，
当x＝4时，y＝1，
当x＝6时，y＝2，
当x＝8时，y＝5，
函数图象如图所示：

故答案为5，2，1，2，5．

（3）由题意C′（0，﹣5），F（4，2），
∴直线FC′的解析式为y＝x﹣5，设抛物线交直线FC′于G，K．
由，解得或，
∴G（，），K（，），
观察图象可知满足条件的PF长度的取值范围为1≤PF＜．
26．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠D＝90°，
∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，
∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF+∠D＝180°，
∴四边形BEDF为“直等补”四边形；
（2）①过C作CF⊥BF于点F，如图1，
则∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BF⊥AD，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝1，
∵∠ABE+∠A＝∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，
设BE＝CF＝x，则BF＝x﹣1，
∵CE2+BF2＝BC2，
∴x2+（x﹣1）2＝52，
解得，x＝4，或x＝﹣3（舍），
∴BE＝4；

②如图2，延长CB到F，使得BF＝BC，延长CD到G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．
则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴CM＝FM，CN＝GN，
∴△MNC的周长＝CM+MN+CN＝FM+MN+GN＝FG的值最小，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠HCG＝180°，
∴∠A＝∠HCG，
∵∠AEB＝∠CHG＝90°，
∴
∵AB＝5，BE＝4，
∴AE＝，
∴，
∴GH＝，CH＝，
∴FH＝FC+CH＝，
∴FG＝＝8，
∴△MNC周长的最小值为8．