2019届二轮复习压轴小题抢分练(2)作业（全国通用）
展开2019届二轮复习 压轴小题抢分练 (2) 作业（全国通用）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an≥2(n∈N*),则 ( )
A.an≥2n+1 B.Sn≥n2
C.an≥2n-1 D.Sn≥2n-1
【解析】选B.由题得a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,…,an-an-1≥2,所以a2-a1+ a3-a2+a4-a3+…+an-an-1≥2(n-1),所以an-a1≥2(n-1),所以an≥2n-1.所以a1≥1,a2≥3,a3≥5,…,an≥2n-1,所以a1+a2+a3+…+an≥1+3+5+…+2n-1,所以Sn≥(1+ 2n-1)=n2.
2.如图,三棱锥P-ABC中,△PAB,△PBC均为正三角形,△ABC为直角三角形,斜边为AC,M为PB的中点,则直线AM,PC所成角的余弦值为 ( )
A.- B.
C. D.
【解析】选B.如图,取BC的中点N,连接MN,AN,易得MN∥PC,则MN,AM所成的角即为直线AM,PC所成的角.设AB=2,则AN=,MN=1,AM=.在△AMN中,由余弦定理,得cos∠AMN==-,所以直线AM,PC所成角的余弦值为.
3.把函数f(x)=log2(x+1)的图象向右平移一个单位,所得图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称;已知偶函数h(x)满足h(x-1)=h(-x-1),当x∈[0,1]时,
h(x)=g(x)-1;若函数y=k·f(x)-h(x)有五个零点,则k的取值范围是 ( )
A.(log32,1) B.[log32,1)
C. D.
【解析】选C.曲线f(x)=log2(x+1)右移一个单位,
得y=f(x-1)=log2x,
所以g(x)=2x,h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1),
则函数h(x)的周期为2.
当x∈[0,1]时,h(x)=2x-1,
y=kf(x)-h(x)有五个零点,等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.
绘制函数图象如图所示,
由图象知kf(3)<1且kf(5)>1,即,
求解不等式组可得:log62<k<.
即k的取值范围是 .
4.已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则·的取值范围是 ( )
A.[-1,0] B.[-1,2] C.[-1,3] D.[-1,4]
【解析】选C.如图所示,
由题意可得:点M所在的区域为:(x-1)2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).
可设点M(x,y),A(0,0),B(2,0).所以·=(-x,-y)·(2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,
由∈[0,2],所以·∈[-1,3].
5.设函数f(x)=|ex-e2a|,若f(x)在区间(-1,3-a)内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.(-3,1)
【解析】选A.f(x)=|ex-e2a|=
f′(x)=
若存在x1<x2使得f′(x1)f′(x2)=-1,
则必有-1<x1≤2a<x2<3-a.
由-1<2a<3-a得-<a<1,
由-1<x1≤2a<x2<3-a得2a-1<x1+x2<a+3,
由f′(x1)f′(x2)=-1得x1+x2=0,
所以2a-1<0<a+3,得-3<a<.
综上可得-<a< .
6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,Q为双曲线C渐近线上一点,P,Q均位于第一象限,且2=,·=0,则双曲线C的离心率为 ( )
A.-1 B.+1 C.-2 D.+2
【解析】选C.设Q(at,bt)(t>0),P(m,n),
注意到∠F1QF2=90°,从而OQ=c,
故b2t2+a2t2=c2,即t=1,
故=(m-a,n-b),=(c-m,-n).
因为2=,
所以解得
代入双曲线方程,则有-=1,
=-2.
7.已知函数y=x2的图象在点(x0,)处的切线为l,若l也与函数y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则x0必满足 ( )
A.0<x0< B.<x0<1
C.<x0< D.<x0<
【解析】选D.设l与函数y=ln x,x∈(0,1)的图象的切点为(x1,ln x1),则由
(ln x)′=,(x2)′=2x得=2x0=,x1∈(0,1),
所以x0=>,y=ln x的切线为y=x-1+ln x1,l为y=2x0x-,
故=1-ln ,-1-ln 2x0=0.
令h(x)=x2-1-ln 2x,
则h()=1-ln 2<0,h()=2-ln 2>0,
由零点存在定理得x0∈(,),选D.
8.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取最小值时,a+b-c的最大值为
( )
A.2 B. C. D.
【解析】选C.正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,
==+-1≥2-1=3.
当且仅当a=2b时取得等号,
则a=2b时,取得最小值,且c=6b2,
所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6+
当b=时,a+b-c有最大值为.
9.设实数m>0,若对任意的x≥e,不等式x2ln x-m≥0恒成立,则m的最大值是
( )
A. B. C.2e D.e
【解析】选D.不等式x2ln x-m≥0 ⇔x2ln x≥m⇔xln x≥ ⇔
ln xeln x≥,
设f(x)=xex(x>0),则f′(x)=(x+1)ex>0,
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
因为>0,ln x>0,所以≤ln x,
即m≤xln x对任意的x≥e恒成立,
此时只需m≤(xln x)min.
设g(x)=xln x (x≥e),g′(x)=ln x+1 >0(x≥e),
所以g(x)在[e,+∞)上为增函数,
所以g(x)min=g(e)=e,
所以m≤e,即m的最大值为e.
10.已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为
( )
A.2- B.- C.-1 D.-
【解析】选D.由PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|,可得△PQF1为等腰直角三角形,
设|PF1|=t,|QF1|=t,即有2t+t=4a,
则t=2(2-)a,
在直角△PF1F2中,可得t2+(2a-t)2=4c2,
化为c2=(9-6)a2,可得e==-.
11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内有两个球O1,O2相外切,球O1与面ABB1A1、面ABCD、面ADD1A1相切,球O2与面BCC1B1、面CC1D1D、面B1C1D1A1相切,则两球表面积之和的最大值与最小值的差为 ( )
A.(2-)π B.
C.(3-)π D.
【解析】选A.设球O1,O2的半径分别为r1,r2,
由题意得r1+r1+r2+r2=,
所以r1+r2=,令a=.
表面积和为S,所以S=4π+4π,
所以=+=+(a-r1)2=2+,
又r1最大时,球O1与正方体六个面相切,且(r1)max=,(r1)min=-=.
所以r1∈.
又<<,所以当r1=时,=,
当r1=或时,=a2-a+,
所以-=-a+
==.所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为(2-)π.
12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.设g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,
由题意,知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线
h(x)=ax-a的下方.
因为g′(x)=ex(2x+1),所以当x<-时,g′(x)<0,
当x>-时,g′(x)>0,所以g(x)在上单调递减,
在上单调递增,
作出g(x)与h(x)的大致图象,如图所示,
故即
所以≤a<1.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.在平面四边形ABCD中,AB⊥AC,AD⊥CD,AB=3,AC=8,则BD的最大值为________.
【解析】根据题意,画出相应的四边形,
设∠CAD=α,则有AD=8cos α ,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB
=9+64cos2α-48cos αcos
=24sin 2α+32cos 2α+41
=40sin(2α+φ)+41,其中cos φ=,
所以其最大值为81,所以BD的最大值为9.
答案:9
14.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,2Sn=an+(n∈N*),记数列{}的前n项和为Tn,则的最小值为________.
【解析】由题意结合2Sn=an+,
当n=1时,2a1=a1+,结合a1>0可得:a1=1;
当n=2时,2(a1+a2)=a2+,
结合a2>0可得:a2=-1;
当n=3时,2(a1+a2+a3)=a3+,
结合a3>0可得:a3=-;
猜想an=
以下用数学归纳法进行证明:
当n=1,n=2时,结论是成立的,
假设当n≥2时,数列{an}的通项公式为:ak=-,则Sk=,
由题意可知:2Sk+1=ak+1+,
结合假设有:2(+ak+1)=ak+1+,
解得:ak+1=-,
综上可得数列{an}的通项公式是正确的.
据此可知:Sn=,=n,
利用等差数列前n项和公式可得:Tn=,
则==++,
结合对勾函数的性质可知,当n=3或n=4时,取得最小值,
当n=3时=++=,
当n=4时=++=,
由于<,据此可知的最小值为.
答案:
15.如图,在△ABC中,BC=2,∠ABC=,AC的垂直平分线DE与AB,AC分别交于D,E两点,且DE=,则BE2=________. 世纪金榜导学号
【解析】由题意知DE垂直平分AC,所以∠A=∠ACD,
故∠BDC=2∠A,所以==,
故CD=.
又DE=CDsin∠ACD=CDsin A==,
所以cos A=,而A∈(0,π),故A=,
因此△ADE为等腰直角三角形,所以AE=DE=.
在△ABC中,∠ACB=,所以=,
故AB=+1,
在△ABE中,BE2=(+1)2+-2×(+1)××=+.
答案:+
16.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2.圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是____________. 世纪金榜导学号
【解析】如图,由圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,
得C1(1,0),C2(m,-m),
设圆C2上点P,则PA2=PG·PC1,
而PA2=P-2,
所以P-2=PG·PC1,则PG=,
AG==
=,
所以S△PAB=2···
==1.
令=t(t≥0),
得t3-t2-4=0,解得:t=2.
即=2,所以PC1=2.
圆C2:(x-m)2-(y+m)2=m2上点P到C1距离的最小值为|C1C2|-m=-m,
最大值为|C1C2|+m=+m,
由-m≤2≤+m,
得
解①得:3-2≤m≤3+2,
解②得:m≤-3或m≥1.
取交集得:1≤m≤3+2.
所以正数m的取值范围是[1,3+2].
答案:[1,3+2]
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