2019届二轮不等式选讲专题卷

 不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题．题型多为解答题，难度为中档. 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)若c>0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[典例]　已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|－2.(1)解不等式f(x)≥0；(2)若存在实数x，使得f(x)≤|x|＋a，求实数a的取值范围．[自主解答]　(1)①当x≤－时，－1－2x＋x≥2⇒x≤－3，所以x≤－3；②当－<x<0时，2x＋1＋x≥2⇒x≥，所以为∅；③当x≥0时，x＋1≥2⇒x≥1，所以x≥1.综合①②③不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)即|2x＋1|－2|x|≤2＋a⇒－|x|≤1＋，由绝对值的几何意义，只需－≤1＋⇒a≥－3.所以a的取值范围为[－3，＋∞)．　　关注用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点．(2)划区间，去绝对值号．(3)分别解去掉绝对值号的不等式．(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．[变式训练]已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集为[－1，5]，求实数a，m的值；(2)当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解：(1)因为|x－a|≤m，所以a－m≤x≤a＋m，∴a＝2，m＝3.(2)a＝2时等价于|x－2|＋t≥|x|，当x≥2，x－2＋t≥x，∵0≤t＜2，所以舍去；当0≤x＜2，2－x＋t≥x，∴0≤x≤成立；当x<0，2－x＋t≥－x成立．所以，原不等式的解集为. 1．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．2．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．[典例]　设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[自主解答]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注．[变式训练]　设实数a，b，c满足a＋2b＋3c＝4，求证：a2＋b2＋c2≥.证明：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2，因为a＋2b＋3c＝4，故a2＋b2＋c2≥，当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时取“＝”. 解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法：(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．[典例]　已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．[自主解答]　(1)不等式f(x)＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0，当a＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>1时，不等式的解集为R；当a<1时，即|x－2|＞1－a，即x－2<a－1或x－2>1－a，即x<a＋1或x>3－a，解集为(－∞，1＋a)∪(3－a，＋∞)．(2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m对任意实数x恒成立，由于|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，故只要m<5.所以m的取值范围是(－∞，5)．解答此类问题应熟记以下转化f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a；f(x)>a有解⇔f(x)max>a；f(x)<a有解⇔f(x)min<a；f(x)>a无解⇔f(x)max≤a；f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.[变式训练]　已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)若f(x)≤a恒成立，求a的取值范围；(2)解不等式f(x)≥x2－2x.解：(1)f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝又当－1<x<2时，－3<－2x＋1<3，∴－3≤f(x)≤3，∴若使f(x)≤a恒成立，应有a≥fmax(x)，即a≥3.∴a的取值范围是[3，＋∞)．(2)当x≤－1时，x2－2x≤3，∴－1≤x≤3，∴x＝－1；当－1<x<2时，x2－2x≤－2x＋1，∴－1≤x≤1，∴－1＜x≤1；当x≥2时，x2－2x≤－3，无解；综合上述，不等式的解集为[－1，1]．  1．已知实数a和b(b≠0)，若不等式|a＋2b|＋|a－2b|≤M·|b|有解，记实数M的最小值为m.(1)求m的值；(2)解不等式|x－1|＋|x－3|≤m.解：(1)由|a＋2b|＋|a－2b|≤M·|b|，得M≥，∵≥＝4，要使不等式|a＋2b|＋|a－2b|≤M·|b|有解，则M≥4，∴m＝4.(2)由(1)知m＝4，∴不等式为|x－1|＋|x－3|≤4，由绝对值的几何意义知0≤x≤4，∴不等式解集为{x|0≤x≤4}．2．已知函数f(x)＝|x－5|＋|x－3|.(1)求函数f(x)的最小值m；(2)若正实数a，b满足＋＝，求证：＋≥m.解：(1)证明：∵f(x)＝|x－5|＋|x－3|≥|x－5＋3－x|＝2，当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，∴m＝2.(2)∵≥＝3，∴×≥3，∴＋≥2.3．设函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥2的解集；(2)若不等式f(x)≤|a－2|的解集为R，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝当x≤－1时，f(x)≥2不成立；当－1<x<2时，由f(x)≥2得，2x－1≥2，∴≤x<2；当x≥2时，f(x)≥2恒成立．∴不等式f(x)≥2的解集为.(2)∵f(x)＝|x＋1|－|x－2|≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|a－2|≥3，∴a≥5或a≤－1，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．4．已知函数f(x)＝x2－x－，g(x)＝－|x＋3|＋a.(1)若关于x的不等式g(x)≥0的解集为{x|－5≤x≤－1}，求实数a的值；(2)若f(x)>g(x)对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)由题意g(x)≥0，即－|x＋3|＋a≥0⇒|x＋3|≤a⇒－a－3≤x≤a－3，结合解集为{x|－5≤x≤－1}可得a＝2.(2)f(x)>g(x)对任意的x∈R恒成立，即x2－x－>－|x＋3|＋a⇒a<x2－x－＋|x＋3|恒成立，设F(x)＝x2－x－＋|x＋3|，即a<F(x)min.当x≥－3时，F(x)＝x2－，F(x)min＝F(0)＝－，此时a<－；当x<－3时，F(x)＝x2－2x－，F(x)min>F(－3)＝4，此时a<4.综上，a的取值范围为.5．已知a＋b＝1，对任意a，b∈(0，＋∞)，＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，(1)求＋的最小值；(2)求x的取值范围．解：(1)∵a>0，b>0且a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，＋取最小值9.(2)因为对a，b∈(0，＋∞)，使＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，所以|2x－1|－|x＋1|≤9，当x≤－1时，不等式化为2－x≤9，解得－7≤x≤－1；当－1<x<时，不等式化为－3x≤9，解得－1<x<；当x≥时，不等式化为x－2≤9，解得≤x≤11；∴x的取值范围为[－7，11]．6．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.证明：因为a，b，c为正实数，由平均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥.所以＋＋＋abc≥＋abc.而＋abc≥2＝2，所以＋＋＋abc≥2.7．(2015·宝鸡九校联考)若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3.证明：|x＋2y＋z|≤3.证明：∵x2＋4y2＋z2＝3，由柯西不等式得：[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2(当且仅当＝＝即x＝z＝1，y＝时取“＝”号)，整理得：(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.8．(2015·福州模拟)已知m≥0，函数f(x)＝2|x－1|－|2x＋m|的最大值为3.(1)求实数m的值；(2)若实数a，b，c满足a－2b＋c＝m，求a2＋b2＋c2的最小值．解：(1)f(x)＝2|x－1|－|2x＋m|＝|2x－2|－|2x＋m|≤|(2x－2)－(2x＋m)|＝|m＋2|，∵m≥0，∴f(x)≤|m＋2|＝m＋2，∴f(x)max＝m＋2，又f(x)的最大值为3，∴m＋2＝3，即m＝1.(2)根据柯西不等式得：(a2＋b2＋c2)[12＋(－2)2＋12]≥(a－2b＋c)2，∵a－2b＋c＝m＝1，∴a2＋b2＋c2≥，当＝＝，即a＝，b＝－，c＝时取等号，∴a2＋b2＋c2的最小值为.