2019届二轮复习“107”满分限时练（五）作业（全国通用）

限时练(五)

(限时：45分钟)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i    B．－3＋i 

C．3－i    D．3＋i

解析　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.

答案　D

2．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝(　　)

A．(2，3]    B．(－∞，1]∪(2，＋∞)

C．[1，2)    D．(－∞，0)∪[1，＋∞)

解析　因为∁UA＝{x|x＞2，或x＜0} ，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．

答案　D

3．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　X～B，由二项分布可得，

P(X＝3)＝C·＝.

答案　A

4．若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝(　　)

A．10   B．20   C．30   D．40

解析　∵数列为调和数列，∴－＝xn＋1－xn＝d，∴{xn}是等差数列．

又∵x1＋x2＋…＋x20＝200＝＝，

∴x5＋x16＝20.

答案　B

5．已知实数x，y满足约束条件则x2＋y2＋2x的最小值是(　　)

A.   B.－1   C.   D．1

解析　满足约束条件件的平面区域如图中阴影部分所示：

∵x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1，表示(－1，0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x＝0，y＝1时，x2＋y2＋2x取最小值1，故选D.

答案　D

6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则φ等于(　　)

A.   B. C.   D.

解析　若f(x)≤对x∈R恒成立，则f为函数的最大值或最小值，

即2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，

则φ＝kπ＋，k∈Z又f＞f(π)，

即sin φ＜0，0＜φ＜2π，

当k＝1时，此时φ＝，满足条件，故选C.

答案　C

7．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1，则Sn的取值范围是(　　)

A．(0，1)   B．(0，＋∞) C.   D.

解析　已知an＋Sn＝1①，当n＝1时，得a1＝；当n≥2时，an－1＋Sn－1＝1②，①②两式相减，得an－an－1＋an＝0，2an＝an－1，由题意知，an－1≠0，∴＝(n≥2)，

∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，

∴Sn＝＝1－，∴Sn∈.

答案　C

8．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B，交其准线于点C，若＝－2，|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝12x    B．y2＝9x

C．y2＝6x    D．y2＝3x

解析　分别过A，B点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，

过A作AD⊥x轴．∴|BF|＝|BB1|，|AA1|＝|AF|.

又∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠CBB1＝60°，∴∠AFD＝∠CFO＝60°，又|AF|＝3，∴|FD|＝，∴|AA1|＝p＋＝3，

∴p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.

答案　D

9．三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称为“等差三位数”，例如：147，642，777，420等等．等差三位数的总个数为(　　)

A．32   B．36   C．40   D．45

解析　由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”，则只要各位数字不为零即可，有9个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为1的“等差三位数”，则百位数字不大于7，有7个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”，则百位数字不大于5，有5个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为3的“等差三位数”，则百位数字不大于3，有3个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”，则百位数字只能为1，有1个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为－1的“等差三位数”，则百位数字不小于2，有8个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为－2的“等差三位数”，则百位数字不小于4，有6个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为－3的“等差三位数”，则百位数字不小于6，有4个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为－4的“等差三位数”，则百位数字不小于8，有2个．综上所述，“等差三位数”的总数为9＋7＋5＋3＋1＋8＋6＋4＋2＝45个，故选D.

答案　D

10．如图，在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别表示三棱锥MPAB，MPBC，MPAC的体积，若f(M)＝(1，x，4y)，且＋≥8恒成立，则正实数a的最小值是(　　)

A．2－    B.

C.    D．6－4

解析　∵PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝2.

∴VPABC＝××3×2×2＝2＝1＋x＋4y，即x＋4y＝1，

∵＋≥8恒成立，

∴＋＝(x＋4y)＝1＋＋＋4a≥1＋4a＋4≥8，解得a≥，

∴正实数a的最小值为，故选C.

答案　C

二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)

11.(1－)6的展开式中x的系数是________．

解析　(1－)6的展开式中的第r＋1项Tr＋1＝C·16－r·(－)r＝(－1)r·C·x，若求x的系数，只需要找到(1－)6展开式中的x2的系数和常数项分别去乘＋x中的系数和x的系数即可．令r＝4得x2的系数是15，令r＝0的常数项为1.所以x的系数为2×15＋1＝31.

答案　31

12．已知0<α<，sin α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________；＝________．

解析　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝，tan α＝，又tan(α－β)＝－，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝3，

由题意知原式＝

＝＝＝＝.

答案　3　

13．已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________；圆C与圆C′的公共弦的长度为________．

解析　因为圆C的方程为x2＋y2－6x－2y＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝10，其圆心为(3，1)，半径为，又因为点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，所以令a＝3，b＝1可得，其关于直线l的对称点为(2，2)，所以圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的圆心为(2，2)，半径为，即圆C′：(x－2)2＋(y－2)2＝10；圆C与圆C′的圆心的距离为d＝＝，所以公共弦的长度为2＝.

答案　(x－2)2＋(y－2)2＝10　

14．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形、侧视图为等腰直角三角形、俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积为________，体积为________．

解析　由三视图知几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥所得，如图所示，则其表面积为S＝4×8＋×4×4＋(4＋8)×4＋×4×4＋(4＋8)×4＝64＋32，体积为V＝×4×4×8－××4×4×4＝.

答案　64＋32　

15．已知函数f(x)＝则f＝________，若f(x)＝ax－1有三个零点，则a的取值范围是________．

解析　f＝－log2＝，

所以f＝f＝＋3＝.x＝0显然不是函数f(x)＝ax－1的零点，则当x≠0时，由f(x)＝ax－1有三个零点知＝a－有三个根，即函数y＝＝与函数y＝a－的图象交点有三个，

如图所示，则由图可知当x<0时，两个函数只有一个交点，则当x>0时，函数y＝a－与函数y＝x＋有两个交点，则存在x使a－>x＋成立，即a>x＋≥2＝4，即a>4.

答案　　(4，＋∞)

16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，4)，C(1，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值为________．

解析　由题意可得＝(－4，0)，＝(0，4)．

又||＝1，所以点D在以点C(1，0)为圆心，1为半径的圆上，故可设D(1＋cos θ，sin θ)，故|＋＋|2＝

26－6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ－φ)，其中tan φ＝，故|＋＋|2∈[16，36]，故|＋＋|∈[4，6]，即|＋＋|的最大值为6.

答案　6

17．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形．若PA＝2，则△OAB的面积为________．

解析　如图所示，线段PC就是球的直径，

设球的半径为R，

因为AB＝BC＝2，

所以AC＝2.

又PA＝2，

所以PC2＝PA2＋AC2＝24＋24＝48，

所以PC＝4，

所以OA＝OB＝2，

所以△AOB是正三角形，

所以S＝×2×2×＝3.

答案　3