2019届二轮复习填空题答题技巧学案（全国通用）

2019年学  创新课堂·二轮专题

第二部分  高分策略

第三讲  填空题答题技巧

填空题不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的“求解题”，填空题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础、考能力的导向，使作为中低档题的填空题成为具备较佳区分度的基本题型。由于填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略、方法，尽量避开常规解法。

一．填空题的类型

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题以及创新题.

二．填空题的解答技巧

1、直接法

直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。

例1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为          .

【分析】：由G为三角形的重心得到，再结合，根据M，G，N三点共线，易得到x，y的关系式，即可得到结论．

【答案】

【点评】：本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量的基本定理和向量在几何中的应用，属于中档题．

例2如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B（|AF|＞|BF|），交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=2，则此抛物线的方程为　．

【分析】：设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义得到x1=2﹣，再由|BC|=2|BF|解出x2=，利用抛物线的性质x1x2=建立关于p的方程，解之可得p=1，即得此抛物线的方程．

【答案】y2=2x

【解析】：设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义，得|AF|=+x1=2，∴x1=2﹣

∵直线交抛物线准线于点C，|BC|=2|BF|，∴x2=，由抛物线的性质，得x1x2=（2﹣）=，解之得p=1，可得此抛物线的方程为y2=2x，故答案为：y2=2x。学   ]

点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．

2、特殊化法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论，这样可大大地简化推理、论证的过程。

例3.  若是奇函数，则实数=    

【分析】：由题设条件可知，因为函数是奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，由此方程求出a的值。

【答案】

点评：本题考察奇函数，解题的关键是熟练掌握奇函数的定义，由定义得出方程f（x）+f（-x）=0，由此方程求出参数的值．

3、数形结合

对于一些含有几何背景的填空题，若能赋数以形，以形赋数，则可简捷地解决问题，

得出正确的结果。常见应用方式有：借助函数图象、不等式表示的平面区域、数轴、图表等，对于有的问题还可以依据代数式的几何意义构造图形来解答。

例4. （2018•广陵区校级四模）如图，已知AC=BC=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最小值是　8﹣4　．

【分析】建立适当的直角坐标系，求出相关点的坐标，求出与，然后求解的表达式，求出最小值即可．

【答案】8﹣4．

【解析】：建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣2，0），C（2，0），

O（0，0），M（2，﹣2），

设D（2cosα，2sinα）．∴=（4，﹣2），

=（2﹣2cosα，﹣2sinα）． 学      

=4×（2﹣2cosα）+4sinα

=8﹣8cosα+4sinα

=8+4sin（α﹣θ），其中tanθ=2．

sin（α﹣θ）∈[﹣1，1]，

∴的最小值是8﹣4．

故答案为：8﹣4．

例5（2018•上城区校级模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是　　；若向量，则λ+μ的最小值为　　．

【分析】建立坐标系，=（cosθ，sinθ），=（cosθ﹣1，sinθ），=cos2θ﹣cosθ+sin2θ=1﹣cosθ，由此能求出的取值范围；求出向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（ +μcosθ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，即可求出范围．

【答案】[0，1]，．

再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（ +μcosθ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），

∴，∴，

∴λ+μ===﹣1+． 学  ]

由题意得 0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．

求得（λ+μ）′=＞0，

故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=．

故答案为：[0，1]，．

变式训练：

（2018•天津）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　　．

【答案】[，2]．

综上≤a≤2，

故答案为：[，2]．

变式训练题：

（2018•马鞍山三模）函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得，则n的最大值等于       。

【答案】10

4、转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.

例6、将一个半径为5cm的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成600角。则水晶球的球心到支架P的距离是          cm.

【答案】

【解析】：如图所示，由已知条件可得三棱锥P-ABC是正四面体，球心O与正三角形ABC构成正三棱锥，且，

则

【点评】：本题考查了球的几何模型的建构，利用球的特殊条件将问题转化为正三棱锥进行研究，可以降低空间想象的难度。

例7.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，

∠ADC=45°，则AD的长度等于      。

【答案】

方法二：几何法

解：由A向BC作垂线，垂足为E，因为AB=AC，所以BE=BC=,因为AB=2，所以

所以B=30，AE=BE.tan30，因为，所以。

【点评】：本题考查了正余弦定理在解决三角形问题中的边角互化中的作用，处理方法有两种，可以看出几何法比较简单。

例8（2018•甘肃一模）若关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）=ax3+（m+）x2﹣cx在区间（t，3）上总不是单调函数，m的取什值范围是       。 学   ]

【分析】：先由根与系数的关系求出a、c的值，再求出f（x）的导数f′（x），利用f′（x）在（2，3）上有零点，f′（2）f′（3）＜0，求出m的取值范围．

【答案】﹣＜m＜﹣3．

【解析】：∵关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}， 学   ]

∴，解得a=1，c=2；

∴f（x）=ax3+（m+）x2﹣cx=x3+（m+）x2﹣2x，求导得f′（x）=3x2+（2m+1）x﹣2；

又∵对于任意的t∈[1，2]，f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，

∴f′（x）在（2，3）上有零点，∴f′（2）f′（3）＜0，即[10+2（2m+1）][25+3（2m+1）]＜0，解得﹣＜m＜﹣3，∴m的取什值范围是﹣＜m＜﹣3．

变式训练题：

（2018•西安模拟）已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）≥m2﹣m有解，则实数m的取值范围为     。

【答案】：[﹣，1]

5.分类讨论法

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

例9.已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn．若且，则a1=　　；S3n=　　．

【分析】：通过对a1分4k，4k+1，4k+2，4k+3（k∈N ）讨论，及与已知条件，结合S3=29，即可求出a1；通过求出a1，a2，…，a9，知道：从a4开始数列{an}是一个周期为3的数列，进而即可得到S3n．

【答案】5；S3n=7n+22

【解析】：（1）①若，则a2=2k，a3=k，∴S3=a1+a2+a3=7k=29，不是整数，舍去；

②若a1=4k+1，则a2=3（4k+1）+1=12k+4，a3=6k+2，∴S3=a1+a2+a3=22k+7=29，解得k=1，∴a1=5．

③若a1=4k+2，则，a3=3a2+1=3（2k+1）+1=6k+4，则S3=a1+a2+a3=12k+7=29，解得，应舍去；

④若a1=4k+3，则a2=3（4k+3）+1=12k+10，，则S3=a1+a2+a3=22k+18=29，解得k=不是整数，舍去．综上可得：a1=5

（2）∵a1=5，a2=16，a3=8，∴a4=4，a5=2，a6=1，a7=4，a8=2，a9=1…．

可以看到：从a4开始数列{an}是一个周期为3的数列，即an+3=an，（n≥4）．

因此，当n≥2时，S3n=29+7（n﹣1）=7n+22，当n=1时，上式也成立，故S3n=7n+22．

【点评】：解决本题利用函数的性质以及分类讨论思想求解，数列掌握分类讨论的思想方法和数列的周期性是解题的关键．

6.构造法

构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。

例10设x，y∈R，且满足，则x+y=      。

【分析】：根据条件，构造函数f（t）=t3+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．

【答案】4

即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），

∵函数f（t）单调递增，∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，所以填写4.

点评：由于一些代数式之间从形式上,本质上的相同之处,这就启示着我们在某些数学问题的研究过程中,可构造类似的数学形式,运用构造的数学形式的内涵来解决问题。

三．特别提示

求解填空题时需注意以下几点：1、审题要仔细：要从看清题目中的每一个字、词、数据、符号，到理解题意、分析隐含条件、寻找简捷的解题方法，都要有合理的分析和判断，并要求推理运算的每一步都准确无误。2、要求要看清：对要作答的要求要看清楚，如“正确的是”、“不正确的是”、“精确到”、“用数字作答”、“填上你认为正确的一种条件即可”、“把你认为正确的命题的序号都填上”、“结果保留”等，由于填空题没有解答过程，没有步骤，一笔失误则徒劳无功、前功尽弃。3、书写要规范：（1）对于计算型填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求，如：不能写成或写成等；（2）所填结果要完整，尽量做到不重不漏，如多选型填空题，不能漏掉；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺等；

（3）要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求函数定义域、值域，结果应写成集合或区间形式等

达标训练题：

1. （2018•安阳二模）已知在△OAB中，OA=OB=2，AB=2，动点P位于线段AB上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为　　．

【答案】：-

故当x=时，取最小值为﹣，

此时，||=，||=，

则cosθ===﹣，

故答案为：﹣．

2. 已知θ为锐角，且cos（θ+）=，则tan（2θ﹣）=　．

【答案】

∴tan（2θ﹣）==﹣，

故答案为：﹣．

3. 如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB=2，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，若∠APB=150°，则tan∠PBA=　　．

【答案】

4. 已知点P是椭圆上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为　　．

【答案】

【解析】：点P是椭圆上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，如图：

设|PF2|=m，则|PF1|=3m，则：，

可得4c2=13×，解得e==．故答案为：．

5. 在△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，则cos2θ的最小值为　　．

【答案】：．

过点A作圆的切线，故当点B为切点时，∠A最大，即θ最大，故cosθ===最小，

则cos2θ的最小值为2cos2θ﹣1=2×﹣1=，

故答案为：．

6．（2018•太原一模）在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=　　．

【答案】

【解析】

以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为2，A（0，0），M（2，1）；C（2，2），N（1，2），=λ+μ，可得：（2，2）=λ（2，1）+μ（1，2），

可得：，解得λ+μ=．故答案为：．

7. （2018•丹东一模）数列{an}满足an+1=（2|sin|﹣1）an+2n，则{an}的前20项和为　　．

【答案】：220

8. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：

①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；

②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；

③曲线C所围区域面积必小于36．

④曲线C总长度不大于6π．

上述判断中正确命题的序号为　　．

【答案】②③．

9. 2018•淮南一模）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，当n≥2时，，且a1=1，设，则的最小值是　9　．

【答案】9

【解析】：∵an=Sn﹣Sn﹣1，（an﹣Sn﹣1）2=SnSn﹣1，

∴（Sn﹣2Sn﹣1）2=SnSn﹣1，

∴Sn2+4Sn﹣12=5SnSn﹣1，

∴Sn=Sn﹣1，或Sn=4Sn﹣1，

∵正项数列{an}的前n项和为Sn，

∴Sn≠Sn﹣1，

∴Sn=4Sn﹣1，

∵S1=a1=1，

∴{Sn}是以1为首项，以4为公比的等比数列，

∴Sn=4n﹣1，

当n=1时，S1=a1=1，

当n≥2时，an+1=Sn+1﹣Sn=4n﹣4n﹣1=3×4n﹣1，

∴=log24n﹣1=2n﹣2，

则=

=，

设t=n+1，则n=t﹣1，

可得=

==t+﹣3≥2﹣3=9，

当且仅当t=6即n=5时，等号成立，

则的最小值是9．

故答案为：9．

10. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P﹣ABA1的体积为　　．

【答案】

【解析】∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=3，点P在棱CC1上，

∴点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高，即为h==，

==，

三棱锥P﹣ABA1的体积为：V===．

故答案为：．