2019届二轮复习椭圆学案（全国通用）



（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
（3）了解椭圆的简单应用.
（4）理解数形结合的思想.

一、椭圆的定义
平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.
定义式：.
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
二、椭圆的标准方程
焦点在轴上，；
焦点在轴上，.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.
三、椭圆的图形及其简单几何性质
i)图形
焦点在轴上 焦点在轴上

ii)

标准方程
几何性质
范围
顶点
焦点
对称性
离心率
椭圆




，


对称轴：轴，轴，对称中心：
原点
，





，


注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.
四、必记结论
1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4A．

考向一 椭圆定义的应用
1．椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.
以椭圆 上一点和焦点F1 (－c，0)，F2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：
（1）；
（2）；
（3）.
2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.
典例1 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．
（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为 ；
（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 ；
（3）若，则点P到焦点F1的距离为 ．
【答案】（1）3；（2）8；（3）．


1．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
考向二 求椭圆的标准方程
求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.

典例2 椭圆以x轴和y轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的方程为
A． B．
C．或 D．或
【答案】C


2．已知为椭的两个焦点,过点F2作椭圆的弦AB,若的周长为16,椭圆的离心率，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
考向三 椭圆的几何性质及应用
1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.
2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出a,c，代入公式.
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

典例3 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝，b2＝，
∴c2＝a2－b2＝，
∴e2＝＝，即e＝.故选B．

3．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ．


1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
2．椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=
A． B．
C．2 D．4
3．已知椭圆上的一点到左焦点的距离为，点是线段的中点，为坐标原点，则
A． B．
C． D．
4．已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为
A． B．
C．或 D．或
5．已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(,1),则实数m的取值范围是
A．(0,) B．(,+∞)
C．(0,)∪(,+∞) D．(,1)∪(1,)
6．对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右顶点到直线x=(c为椭圆的半焦距)的距离为2-,则椭圆C的方程为
A．+y2=1 B．+=1
C．+y2=1 D．+=1
8．已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为
A． B．
C． D．
9．已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是
A． B．
C． D．
10．如图，椭圆的左、右焦点分别为点为其上的动点，当为钝角时，则点的横坐标的取值范围是

A． B．
C．( D．
11．已知点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且满足，则的面积为
A．1 B．
C．2 D．4
12．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为
A． B．
C． D．
13．已知成等差数列，成等比数列，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
14．已知椭圆的两个焦点是，，是椭圆上一点，，则的形状是
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
15．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为
A． B．
C． D．
16．设椭圆的焦点为, ，若，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为
A． B．
C． D．
17．已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在点P，使,则该椭圆离心率的取值范围为
A．(0,-1) B．(,1)
C．(0,) D．(-1,1)
18．椭圆的焦距等于 ．
19．已知椭圆的两焦点坐标分别是 、，并且过点，则该椭圆的标准方程是 ．
20．已知F1,F2为椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若为正三角形,则椭圆的离心率为　　　　. 
21．已知椭圆的方程为，、为椭圆上的两个焦点，点在上且，则三角形的面积为 ．
22．如图,A,B分别为椭圆的左、右顶点,点P在椭圆上, 是面积为4的等腰直角三角形,则b=　　　　. 

23．已知A(1,1)为椭圆内一点，为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值为 .
24．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则椭圆的方程为 . 
25．设椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任一动点，则的取值范围为　　　. 
26．求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);
(2)对称轴为坐标轴,经过点P(-6,0)和Q(0,8).




27．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=，求椭圆E的方程．










28．已知椭圆的两焦点分别为、，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的值.










29．已知椭圆C的方程为.
（1）求k的取值范围；
（2）若椭圆C的离心率，求的值.












1．（2017浙江）椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
2．（2018新课标全国Ⅱ理 ）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B．
C． D．
3．（2017新课标全国Ⅲ理 ）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B．
C． D．
4．（2016新课标全国Ⅲ理 ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A． B．
C． D．
5．（2018浙江）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
6．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．
（注：椭圆的准线方程：）











变式拓展

1．【答案】C

2．【答案】D
【解析】由椭圆的定义得，
，
又椭圆的离心率，即，
，
椭圆的方程为.故选D．
3．【答案】

考点冲关

1．【答案】B
【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，
解得．故选
2．【答案】A
【解析】椭圆的标准方程为：，
椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍，
，解得.
故选A.
3．【答案】C

4．【答案】D
【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，即有，
又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，
若焦点在轴上，则，，椭圆方程为；
若焦点在轴上，则，，椭圆方程为.
∴椭圆的标准方程为或．故选
5．【答案】C
【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为.
又 当椭圆的焦点在x轴上时,a2=1,b2=,则m>;
当椭圆的焦点在y轴上时,a2=,b2=1,则0 所以实数m的取值范围是0.
【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的,如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的,如顶点坐标、焦点坐标.
6．【答案】B
【解析】由mn>0,得 或.
由方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆,得.
故“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
7．【答案】A

8．【答案】C
【解析】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得,即,
因为，所以
即，
则,选C．
9．【答案】C
【解析】由椭圆知a=，长轴长2a=，
设直线BC过椭圆的右焦点F2，
根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF2|=2a=，|AC|+|F2C|=2a=．
∴三角形的周长为|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4a=．故选C.

10．【答案】A

则点的横坐标的取值范围是
故选A．
11．【答案】A
【解析】因为,所以,
所以.
由题意得,即,
即,解得.
所以的面积.选A．
12．【答案】D
【解析】设椭圆的右焦点为，
易知，
由，得，
根据椭圆的定义可得，
所以.
13．【答案】A

14．【答案】B
【解析】由题意知，
又，联立后可解得，
∵，∴，
∴，∴是直角三角形．故选B．
15．【答案】D

16．【答案】A
【解析】，
由得，∴，即．
∴的最小值为1，即离心率最小时，，
∴椭圆方程为，故选A．
17．【答案】D
【解析】根据正弦定理得,
又，可得,
即=e，
所以|PF1|=e|PF2|.
又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,
所以|PF2|=.
因为a-c<|PF2| 所以,
所以,所以,
即解得.故选D．

20．【答案】
【解析】方法一：e=.
因为为等边三角形,
所以|AF1|∶|F1F2|∶|F2A|=1∶∶2,

21．【答案】
【解析】由可得，
设，
由椭圆的定义可得 ①，
由余弦定理得 ②，
由①2-②可得，
，故答案为.
22．【答案】
【解析】已知是等腰直角三角形,而|OB|=a,
过点P作PH⊥OB于点H,则PH=OH=OB=a,
所以其面积S=|OB|×|PH|=×a×a=a2.
故由题意可得a2=4,解得a=4,故P(2,2).
由点P在椭圆上可得,+=1,解得b2=,
所以b=.
23．【答案】

24．【答案】
【解析】由已知得，
解得，
故椭圆的方程为.
25．【答案】
【解析】由题意得.
令,则,,
所以===,
而,所以.
即的取值范围为.
26．【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0).
方法一:由椭圆的定义知,,

27．【解析】设椭圆E的方程为，半焦距为c．
由已知条件，得F（0，1），
∴b=1，=，
结合a2=b2+c2，解得a=2，．
所以椭圆E的方程为．
28．【解析】（1）结合题意可设椭圆的方程为.
由题设知,，
∴,.
∴所求椭圆的方程为+=1.
（2）由（1），结合椭圆的定义知，
又，∴，，
∵，
∴由余弦定理得.
29．【解析】（1）∵方程表示椭圆，
∴.
（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，
∴c=，
又，

②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，
∴c=，
又，

综上，k的值为2或8．
直通高考


【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.
3．【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，故选A．
4．【答案】A

【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；
（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．
5．【答案】
【解析】设，，
由得，，
所以，
因为，在椭圆上，所以，，
所以，
所以，
与对应相减得，，
当且仅当时取最大值．
【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
6．【解析】（1）设椭圆的半焦距为C．

因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程： ①，
直线的方程： ②．
由①②，解得，
所以．