2019届二轮复习选修系列--参数方程与极坐标学案（全国通用）

2019届二轮复习   选修系列--参数方程与极坐标  学案 （全国通用）

【母题原题1】【2018新课标1，理22】

在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．

综上，所求的方程为．

点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.  

【母题原题2】【2017新课标1，理22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;

(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.

【母题原题3】【2016新课标1，理23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.

(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.

【解析】(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.

将x=ρcos θ,y=ρsin θ　代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.

(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0　,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,

由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,

从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.

a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,

所以a=1.

【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题．2．理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题.

【基础知识与解题技巧】

1．参数方程和普通方程的互化

（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数．

（2）如果知道变量x，y中的一个与参数t的关系，例如，x=f（t），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g（t），那么就是曲线的参数方程．

（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．

（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．

2．几种常见曲线的参数方程

（1）圆

以O′（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．

当圆心在（0，0）时，方程为其中α是参数．

（2）椭圆

椭圆＋=1（a>b>0）的参数方程是其中φ是参数．

椭圆＋=1（a>b>0）的参数方程是其中φ是参数．

（3）直线

经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．

1．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)写出曲线的普通方程;

(2)若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.

由，得，

所以,从而 ，

即的取值范围是.

点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线的极坐标方程是.直线的参数方程为（为参数，）.设，直线与曲线交于两点.

（1）当时，求的长度；

（2）求的取值范围.

化简得（其中），

点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

3．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求的极坐标方程；

（2）设，为上两点，若，求的值．

【解析】分析：（1）先根据坐标伸缩变换的公式求的普通方程为，再把它化成极坐标方程.(2) 设，的极坐标分别为，，再代入的极坐标方程，化简求的值.

详解：（1）由题设的参数方程为（为参数），  

消去得的普通方程为．

将，代入

得的极坐标方程为．       

（2）不妨设，的极坐标分别为，，

则， ．

从而，，

所以，因此．           

      点睛：（1）本题主要考查参数方程和极坐标的互化，考查极坐标方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答第2问，可以化成直角坐标解答，但是计算量比较大，本题直接利用极坐标解答，计算量比较小.

4．【江西师范大学附属中学2018届高三年级测试（三模）】在直角坐标系中，曲线 （为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 ．其中为直线的倾斜角（）

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.

点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.

5．【湖北省2018届高三5月冲刺】在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的参数方程；

(2)若点在直线上，点在曲线上，求的最小值.

【解析】分析：(1)根据直线参数标准式方程写出直线的参数方程，(2)先根据，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点斜式得直线的方程，最后根据圆的性质得的最小值为圆心到直线距离减去半径.

详解：

点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.

6．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）射线：（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点，求的取值范围．

【解析】分析：（1）利用可得直线的极坐标方程，由消参数得

从而可得曲线的极坐标方程是；（2）将分别代入，，得，，，由得，利用正弦函数的单调性可得结果.

详解：（1）∵∴直线的极坐标方程是，

由消参数得，

∴曲线的极坐标方程是．

（2）将分别代入，，得，，

∴，

∵，∴，∴， ]

∴的取值范围是．

点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

7．【河南省郑州外国语学校2018届高三第十五次调研考试】在平面直角坐标系的中，曲线的参数方程是（为参数），以射线为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求直线与曲线相交所得的弦的长.

代入得，

，设方程的两根为，则，

所以.   . ]

点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．  

8．【四省2018届高三第三次大联考】在极坐标系中.曲线的极坐标方程为点的极坐标为以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴.建立平面直角坐标系，

(1)求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标;

(2)过点的直线与曲线相交于两点.若,求的值.

由得 或

当时，或

.

当时，同理

点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，直线的参数方程将其几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知曲线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）曲线与曲线有两个公共点，求的取值范围.

点睛：本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程间的互化、直线和抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的数学化简能力和基本计算能力．

10．【江西省重点中学协作体2018届高三第二次联考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.

（1）求曲线、的直角坐标方程.

（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.

点睛：本题主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与互化，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．【安徽省合肥市第一中学2018冲刺高考最后1卷】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.

（1）求曲线和直线的直角坐标方程，并求出曲线上到直线的距离最大的点的坐标，

（2）求曲线的极坐标方程，并设为曲线上的两个动点，且，求的取值范围.

【解析】分析：（1）先消参得到曲线C的直角坐标方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程,再利用三角函数的图像和性质求出曲线上到直线的距离最大的点的坐标.(2)转化成求的值.

详解：（1）曲线，直线，

则曲线上点到直线的距离，

当时，最大，此时，.

（2）曲线的极坐标方程为，即.

设，则.

点睛：（1）本题主要考查参数方程极坐标和直角坐标的互化，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握能力. (2)对于第（2）问，可以利用直角坐标，也可以利用极坐标解答，直接利用极坐标解答简洁一些.

12．【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊模拟考试】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.

（Ⅰ）写出曲线，的普通方程；

（Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.

   ]

所以直线的参数方程为（参数）将其代入曲线整理可得，所以.设对应的参数分别为则所以，.

所以.

点睛: 本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．  

13．【山西省运城市康杰中学2018届高考模拟（一）】在平面直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（I）求曲线的极坐标方程；

（II）若射线与曲线的公共点分别为，求的最大值．   | ]

点睛：考查参数方程和极坐标方程，主要考查曲线的参数方程和直角坐标方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化问题，要牢记互化公式和消参方法.

14．【山东省名校联盟2018年第一次适应模拟试题】在直角坐标系中，以原点为极点，正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知曲线：，把曲线上任一点纵坐标压缩为原来的，得到曲线．

（1）求曲线和的普通方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线和，设交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的最大值．

所以， 或，取得最大值．

点睛：本题主要考查极坐标方程化为普通方程，逆代法的应用以及直线参数方程的应用、平面向量数量积的运算、三角函数的有界性的应用，属于中档题.直线参数方程的参数的几何意义，在解答与线段和与线段积有关的的问题时，用起来较为得心应手.

15．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三第三次模拟考试】在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆与圆外切于原点，且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆和圆的极坐标方程；

（2）过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点，且.求四边形面积的最大值．

由（1）得，

所以．

所以当，即时，有最大值9．  学 .

点睛：本题考查几类曲线方程间的互化，考查学生的转化能力和计算能力．在有关极坐标的问题中要注意极径的作用，由于它表示线段的长度，进而可用来解决几何中的弦长、面积等问题．