2019届二轮复习选考部分高考热点链接学案（全国通用）

例1（2018•江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．

【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．

（2018•迎泽区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C3的极坐标方程为．

（1）求曲线C1的普通方程和C3的直角坐标方程；

（2）设C3分别交C1、C2于点P、Q，求△C1PQ的面积．

（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为．

将代入ρ=4cosθ，得，

将代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，

所以，

依题意得，点C1到曲线的距离为．

所以．

（2018•山东聊城一模）已知函数f（x）=|2x+a|+2a，a∈R．

（Ⅰ）若对于任意x∈R，f（x）都满足f（x）=f（3﹣x），求a的值；

（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a成立，求实数a的取值范围．学  ]

【解析】：（Ⅰ）因为f（x）=f（3﹣x），x∈R，所以f（x）的图象关于对称．

又的图象关于对称，所以，所以a=﹣3． 学  ]

（Ⅱ）f（x）≤﹣|2x﹣1|+a等价于|2x+a|+|2x﹣1|+a≤0．

设g（x）=|2x+a|+|2x﹣1|+a，

则g（x）min=|（2x+a）﹣（2x﹣1）|+a=|a+1|+a．

由题意g（x）min≤0，即|a+1|+a≤0．

当a≥﹣1时，a+1+a≤0，，所以；

当a＜﹣1时，﹣（a+1）+a≤0，﹣1≤0，所以a＜﹣1，

综上．

热点二：绝对值不等式

例2（2018•石嘴山一模）已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．

（1）求k的值；

（2）若a，b，c∈R，，求b（a+c）的最大值．

【分析】（1）根据分段函数的单调性求出函数的最大值，即可求出k的值， 学   ]   . ]

（2）根据基本不等式即可求出答案．

（2）由已知，有（a2+b2）+（b2+c2）=4，

因为a2+b2≥2ab（当a=b取等号），b2+c2≥2bc（当b=c取等号），

所以（a2+b2）+（b2+c2）=4≥2（ab+bc），即ab+bc≤2，

故[b（a+c）]max=2．

变式训练题：

（2018•海南三模）已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．

（1）求不等式f（x）＜7的解集；

（2）证明：当时，直线y=k（x+4）与函数f（x）的图象可以围成一个四边形．

【分析】（1）讨论x的范围，去绝对值，化简f（x），再解不等式f（x）＜7，求并集可得所求解集；

（2）作出f（x）的图象，考虑直线y=k（x+4）经过点（0，3）和平行于直线y=2x﹣3，求得k，结合图象即可得到所求结论．

【解析】：（1）f（x）=|x|+|x﹣3|，

当x≥3时，f（x）=x+x﹣3=2x﹣3，

由f（x）＜7解得3≤x＜5；

当0＜x＜3时，f（x）=x+3﹣x=3， 学  ]

f（x）＜7显然成立，可得0＜x＜3；

当x≤0时，f（x）=﹣x+3﹣x=3﹣2x，

由f（x）＜7解得﹣2＜x≤0，

综上可得，f（x）＜7的解集为（﹣2，5）；

当直线y=k（x+4）与直线y=2x﹣3平行，可得k=2，

可得当时，直线y=k（x+4）与函数f（x）的图象可以围成一个四边形．

必刷题：

1. 已知曲线C：，直线l： (t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

【解析】：(1)曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到直线l的距离d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

2. （2018•厦门一模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，∴f（x）的最小值为2．

关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，则2＜a2+a﹣4，即a2+a﹣6＞0，

即（a+3）（a﹣2）＞0，∴a＜﹣3，或a＞2， 学    ]

实数a的取值范围{a|a＜﹣3，或a＞2 }．

3. （2018•福州二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=．

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B 两点，点P坐标为（1，﹣，求+． 学   ]

【解析】：（1）曲线C1的参数方程为（φ为参数），

转换为直角坐标方程为：．

曲线C2的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=．

转换为直角坐标方程为：6x﹣3y﹣10=0．

学   ]

4. （2018•江西一模）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）

（1）求证：f（x）≥2；

（2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．

【解析】（1）证明：f（x）=|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2；

（2）解：g（b）=≤=3，

∴f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，

x≤﹣1时，﹣2x≥3，∴x≤﹣1.5，∴x≤﹣1.5；   ]

﹣1＜x≤1时，2≥3不成立；

x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．

综上所述x≤﹣1.5或x≥1.5．

 学  ]