2019届二轮复习数形结合思想学案（全国通用）

【典例分析】

【支点一】利用数形结合解决方程根的问题

【例题1】若方程的解为，则不等式的最大整数解是学      

A.                          B.         

C.                          D.

【分析】由条件：“方程lnx-6+2x=0”得：方程lnx=6-2x．此方程的根是两个函数y=6-2x，y=lnx图象交点的横坐标，分别画出它们的图象，由图判断知x0∈（2，3），得解．

【答案】B

【规律总结】

命题揭秘：利用函数的图像讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂的方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时候适当变形转化为熟悉的两个函数），然后在同一坐标系中画出两个函数的图像。图像的交点个数即为方程的解的个数。

夺分宝典：求解思路是：方程的根与函数图像的关系函数解 方程 有实数根函数图像有交点.

【变式1】（2018•黄石港区校级模拟）已知，如果方程ax=logbx，bx=logax，bx=logbx的根分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为（　　）

A．x3＜x1＜x2 B．x3＜x2＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x1＜x2＜x3

【答案】C

【支点二】利用数形结合思想解不等式、线性规划等问题   

【例题2】（2018春•河南洛阳期末）若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是（　　）

A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，2）

【分析】由题意利用函数与方程的关系以及二次函数的性值可得关于a、b的不等式组，利用数形结合思想表示出不等式的区域，再利用目标函数的几何意义求出目标函数的范围。

【答案】D

【解析】∵函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，

∴，求得，学  

它所表示的区域为△ABC内的部分，

命题揭秘：

求参数范围或解不等式问题时常联系函数的图像，根据不等式量的特征，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数的图像的上下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简洁的解答。在解决线性规划问题时候，解决这类问题的关键是线性目标函数的几何意义，所以明确目标函数的几何意义以及结合图像是求解问题的根本。

夺分宝典：解决线性规划问题关键是明确目标函数的几何意义，对于型的目标函数，可转化为的形式，则问题化归为求可行域内的点（x，y）到直线Ax＋By＋C距离的倍的最值。形如型的目标函数，是对线性规划的一种拓展，其解决办法是求可行域内的点（x，y）到点（a，b）间的距离的最值问题。对形如 ＝ax＋by型的目标函数，可先变形为，看作直线在y轴上截距，问题化归为求纵截距范围的问题。对形如利用的几何意义，借助于可行域，直观简捷的求解。

【变式2】（2018•山东、湖北重点校联考）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数 =y﹣mx取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜﹣1 B．0＜m＜1 C．m＞1 D．m≥1 学  ]

【答案】C

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，

【支点三】利用数形结合思想挖掘几何性质解决参数范围（或最值）问题

（2018•四川南充高三模拟）已知定义在R上的单调递增奇函数f（x），若当0≤θ≤时，f（cosθ+msinθ）+f（﹣2m﹣2）＜0恒成立，则实数m的取值范围是　

【分析】利用函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化，分类参数，利用数形结合思想求出参数m的范围。学  

【答案】（，+∞）

【解析】∵当0≤θ≤时，f（cosθ+msinθ）+f（﹣2m﹣2）＜0恒成立，函数是奇函数，∴当0≤θ≤时，f（cosθ+msinθ）＜f（2m+2）恒成立，

∵函数是定义在R上的单调递增函数，∴cosθ+msinθ＜2m+2，当0≤θ≤时恒成立，∴m＞,令t=，其几何意义是P（sinθ，cosθ）（0≤θ≤）与C（2，2）连线的斜率，P点的轨迹为半径为1的单位圆，如图：学  

∴≤t≤2，∴﹣2≤t≤，∴m＞．故答案为：（，+∞）

【规律总结】通过函数的性质去掉”f”，转化为关于m与的不等式问题，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,视为定点(2,2)到动点（sinθ，cosθ）的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得：最值在直线 和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得.

命题揭秘：（1）在几何的一些最值问题中，可以根据图像的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求的最值；

（2）如果（不）等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合思想方法来解题，即所谓的几何法求解。

夺分宝典：

【变式3】（2017•汉中二模）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 （　　）

A． B．2 C．3 D．3

【答案】A

【解析】如图，设PC=d，

 学      

核心素养拓展拓展提升

【素养概述】数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1) “以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2) “以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因此在高考中占有非常重要的地位．

【素养拓展】数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，如点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1) 实数与数轴上点的对应；(2) 函数与图象的对应；(3) 曲线与方程的对应；(4) 以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，如复数、三角、空间点的坐标等．

数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程． 学, ,  ,X,X,K]

【夺分宝典】

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．(3)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(4)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(5)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(6)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能达到事半功倍的效果．

核心试题精练

【思维挑战】

1. 过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为

A．           B．        C．           D．

【答案】A

2. （2018四川绵阳高三二模）.对实数a和b，定义运算“ ”：a b=，设函数f（x）=（x2+1） （x+2），若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是（　　）

A.                        B.

C.                            D.

【答案】B

【解析】当（x2+1）﹣（x+2）≤1时，f（x）=x2+1，（﹣1≤x≤2），

当（x2+1）﹣（x+2）＞1时，f（x）=x+2，（x＞2或x＜﹣1），

函数y=f（x）=的图象如图所示：

由图象得：1＜c≤2，4＜c≤5时，函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，

即函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点；故答案选：B．学! 

3．若方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则的取值范围是　

【答案】（，1）；

其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0），设点E（a，b）为区域内的任意一点，则k=，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率．∵KAD=，kCD=，结合图形可知：KAD＜k＜KCD，∴k的取值范围是（，1），故答案为：（，1）．

4．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是　　．

【答案】（0，1）；

【解析】由题意作出函数的图象，

5．已知圆M过两点C（1，﹣1），D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B是切点，则四边形PAMB面积的最小值为　。

【答案】2；

【解析】设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），根据题意得，解得： a=b=1，r=2，