2019届二轮复习一元二次不等式及其解法学案（全国通用）

【情景激趣我爱读】

设该商品价格为元，依据题意可以建立不等关系，可知这是一个关于的一元二次不等式.要解决问题就需要解一元二次不等式.

【学习目标我预览】

【基础知识我填充】

1.一;二;成立的值;所有解.|  |X|X|K]

2.（1）   ,

2. 或，

；

；

.

【基础题型我先练】

1. 答案：D 解析：由可化为，所以.

2. 解：由题意可得，即

解得，所以函数的定义域为.

【典型例题我剖析】

典例1：

我的基本思路：对于没有分解因式的不等式，先化成二次项系数大于0的标准的二次不等式，然后根据二次方程、函数、不等式之间的关系求解.

我的解题过程：（1）不等式可化为：

，且方程的两根，

所以不等式的解集为.

1. 由方程的两根为，

所以不等式的解集为.

2. 不等式可化为，

而，所以不等式的解集为R.

3. 不等式可化为：，

即，所以不等式的解集为.

我的感悟点评：一元二次不等式是不等式学习的重点，它可以和二次方程、二次函数等知识通过重要的数学思想--数形结合思想（熟练以后不一定非得画图）结合在了一起.

典例2：

我的基本思路：这是一个可以分解因式的高次不等式，我们可以将它转化为二次不等式组或来求解，显然比较麻烦.借鉴解一元二次不等式的数形结合方法，我们有以下解法.

我的解题过程：不等式对应的方程的根依次为1,2,3，由穿针引线法（如下图）可知不等式的解集为

我的感悟点评：如果把函数的图象与轴的交点（1，0），（2，0），（3，0）形象地看成“针眼”，函数的图象看成“线”，那么上述这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为“穿针引线法”．运用“穿针引钱法”要特别注意遇到偶重零点不穿过，遇到奇重零点才穿过．

【变式思维我迁移】

1.我的基本思路：与例1相比，这是含有参数类型的不等式，参数也是实数，所以大方向也是按照一般不等式的求解步骤进行，遇到不确定情形时，分类讨论.   ]

我的解题过程：原不等式等价于

①当时，所以原不等式的解集为；学  

我的感悟点评：对于含参数的一元二次不等式，除了可以考查解不等式的基本方法和步骤之外，还可以考查分类讨论思想.本例主要是由于方程两根（可以分解因式）的大小不确定，从而需要分类讨论.

我的基本思路：这是一个分式不等式，需要移项、通分、化为整式不等式来求解.

我的解题过程：原不等式等价变形为，即

所以，则可化为

，即

，由下图可知不等式的解集为

我的感悟点评：本例是先将分式不等式转化为标准形式，然后再化分式不等式为整式不等式，最后利用穿针引线法得解，充分体现了转化划归的数学思想在解题中的重要指导作用.另外，这个不等式由于含有一个等号，所以在等价转化时，一定要记得分母不等于0的限制，否则就容易增解.

【易错问题我纠错】

错解：由题意可得，

解得：－10，故选D.

错解剖析：将2+2－(+2) 0看成了一定是一元二次不等式，忽略了＝0的情况.

正解：当＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，

＝0符合题意；

当0时，由题意：

解得：－10 ，故选C.

【方法技巧我归纳】

1. 解一元二次不等式的一般步骤是：

1. 利用不等式性质，先将二次项系数化正；
2. 如果能分解因式，可通过分解因式确定对应方程的根；如果不能分解因式，可通过判别式确定对应方程根的情况；
3. 根据二次不等式、方程、函数的关系，结合二次函数的图像写出不等式的解集.

2. 解含参数的一元二次不等式讨论的依据常见的情形主要有两种：如果二次项含有参数，则按二次项是否为0进行讨论；如果对应方程的两根不能确定大小，则以根的大小为讨论的依据..
3. 分式不等式转化为整式不等式时，要注意含有等号的情形加上对分母的限制；用穿针引线法解高次不等式先将最高次系数化正，然后按照“从上往下，从右往左，奇透偶不透”的方法来穿根.

【课后巩固我做主】

A级

（1）答案：D  解析：x2<3x⇒x2－3x<0⇒x(x－3)<0⇒0<x<3.

2.答案：B  解析：∵－6x2－x＋2≤0⇔6x2＋x－2≥0⇔(2x－1)·(3x＋2)≥0⇔x≥或x≤－.

3.答案：A  解析：不等式<0⇔x(x＋2)(x－3)<0，由穿针引线法得解集为{x|x<－2或0<x<3}.

4．答案： D 解析：由

∴a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.

5.答案： [0，)  解析:由题知mx2＋4mx＋3＝0无解，

(1)当m＝0时，3≠0，∴符合题意；

(2)当m≠0时，Δ＝16m2－4m×3＝16m2－12m<0，

即0<m<.综上m∈[0，).

6.答案：{x|x>a或x<}解：方程(x－a)(x－)＝0的两根为

x1＝a，x2＝，又a>1时，a>，

∴不等式(x－a)(x－)>0的解集为{x|x>a或x<}．

1. 答案：解析：∵Δ＝1－4×＝－2<0，且二次项系数1>0，∴x2＋x＋<0的解集为.

8.解：不等式等价于：

即

由①得－2<x<4，由②得x≤0或x≥3，

综合①②得－2<x≤0或3≤x<4，

∴原不等式的解集为{x|－2<x≤0或3≤x<4}．学  

9. 解：不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，

即(m－2)x2＋(2m－4)x－4<0恒成立．

当m－2＝0，即m＝2时，原不等式化为－4<0，恒成立．

当m－2<0，即m<2时，Δ＝(2m－4)2＋4×4(m－2)<0，

解得－2<m<2，

综上，m的取值范围为(－2,2].

   ]

B级

10. 答案：A  解析：A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，∴A∩B＝{x|1≤x<2或3<x≤4}.

11.答案： A 解析：∵a<－1，∴a(x－a)(x－)<0⇔(x－a)·(x－)>0.又∵a<－1，∴>a，∴x>或x<a，即原不等式的解集为{x|x>或x<a}.学 .

1. 解：原不等式可化为：(x－a)＋(－)>0，即>0，

即>0等价于x(x－a)·(x－)>0，

又a－＝＝.

∴当a>1时，a>，原不等式的解为0<x<或x>a；

当a＝1时，原不等式可化为x(x－1)2>0，∴原不等式的解为x>0且x≠1；当0<a<1时，a<，∴原不等式的解为0<x<a或x>.

综上得，原不等式的解为：当a>1时，x∈(0，)∪(a，＋∞)；a＝1时，x∈(0,1)∪(1，＋∞)；当0<a<1时，x∈(0，a)∪(，＋∞)．

【命题规律我总结】

【疑难问题我存档】