2019届二轮复习数学归纳法学案（全国通用）

2019届二轮复习   数学归纳法  学案 （全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

数学归纳法

1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N )

时命题成立．

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N )时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

2.数学归纳法的框图表示

【重点难点突破】

考点1  等差数列和等比数列的综合问题

考点1利用数学归纳法证明等式

【1-1】用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　)

A. 1    B. 1＋2    C. 1＋2＋22    D. 1＋2＋22＋23

【答案】D

【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D.  

【1-2】已知a，b，c，使等式N+都成立，

（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论。

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

即1•22+2•32+…+k（k+1）2

=（3k2+11k+10），

那么当n=k+1时，

1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2

=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2

=（3k2+5k+12k+24）

=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，学  ]

由此可知，当n=k+1时，（ ）式也成立．

综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．

【领悟技法】

数学归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．

【触类旁通】

【变式一】观察下列等式：

； ； ； ；

，

…………

(1)猜想第个等式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.  + +k ]

【答案】(1) .(2)答案见解析.

(2)证明：(i)当时，等式显然成立.

(ii)假设时等式成立，即，

即.

那么当时，左边

，

右边.

所以当时，等式也成立.

综上所述，等式对任意都成立.

【变式二】已知数列中， ，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

【答案】(I）；（II）见解析.   

所以n=k+1时，等式成立.           

所以由①②知猜想成立.  

考点2  利用数学归纳法证明不等式

【2-1】【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．　

（1）求证：；

（2）求证：是等差数列；

（3）设，记数列的前项和为，求证：    ．

【答案】 (1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

所以，

即，

即，

所以，数列是等差数列．

（3）由（2）知，，

∴，

【2-2】【2017浙江卷22】已知数列满足：

证明：当时

（I）;

（II）；

(III)

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.    

【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数  ，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得

试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明： ．

当n=1时，x1=1>0．   ]

假设n=k时，xk>0，

那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．

因此．

所以，

因此．

（Ⅱ）由得，

．

记函数，

，

【领悟技法】

数学归纳法证明不等式的适用范围及关键

(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化

【触类旁通】

【变式一】设正项数列的前项和，且满足.

（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.

【答案】(1) （2）见解析

【解析】试题分析：（1）先根据 关系，将条件转化为项与项递推关系，依次代入求解，可得的值，根据规律猜想，利用项与项递推关系及归纳假设证明n=k+1时情况（2）利

于是对于一切的自然数，都有

（Ⅱ）证法一：因为，

证法二：数学归纳法

证明：（ⅰ）当n=1时，，，

（ⅱ）假设当n=k时，

则当n=k+1时，

要证：只需证：

由于

所以

于是对于一切的自然数，都有.

【变式二】已知数列中，满足记为前n项和．

（I）证明： ；

（Ⅱ）证明：

（Ⅲ）证明： .

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．

当时， 成立

假设时， 成立， 学  ]

那么当时， ，

所以综上所述，对任意，      …………………………………………6分

考点3  归纳、猜想、证明

【3-1】给出下列不等式：

，

，

，

，

，……

（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； 

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

【答案】（1）；（2）详见解析.  

【解析】试题分析：（1）利用归纳推理以及所给式子的结构特征，得出结论-.

（2）先证明 时，等式成立，假设 时，等式成立，即-成立，在此基础上利用假设证明 时，等式也成立，从而得到等式对任意的 均成立．

试题解析：

【3-2】观察下列等式：

；

；

；

；

………

（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

【答案】（1） （）；（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)结合所给的规律可猜想第个等式为 （）；

(2)首先说明n=1等式成立，然后假设当（）时，等式成立，证明当时等式成立即可.

试题解析：

【领悟技法】

(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤

①计算(根据条件，计算若干项)．

②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．

③证明(用数学归纳法证明)．  

(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略

①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．

②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．

【触类旁通】

【变式一】设等差数列的公差，且，记

   （1）用分别表示，并猜想；

   （2）用数学归纳法证明你的猜想.

【答案】（1）.；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）分别求出的值，观察共有性质，从而可归纳猜想出；

（2）根据数学归纳法的基本原理，①当n＝1时，验证猜想正确，②假设当n＝k时(k∈N )时结论成立，证

【变式二】数列中，已知，．

(1) 求的值，并猜想的表达式．

(2) 请用数学归纳法证明你的猜想．(注：不用数学归纳法证明一律不得分）

【答案】（1）见解析.（2）见解析.

【解析】

（）∵，   ∴，

    ．

由此可猜想：，

（）证明：当时，，等式成立，

假设时，等式成立，即，

则当时， ，

即当时，等式也成立，   综上所述，对任意自然数，．

【易错试题常警惕】

易错典例：数列满足，且.

（1）写出的前3项，并猜想其通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

易错分析：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.

温馨提示：1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.

2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.

3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.