2019届二轮复习圆锥曲线学案（全国通用）
展开第九讲 圆锥曲线
一、知识方法拓展：
1、直线系方程
若直线与直线相交于P，则它们的线性组合（，且不全为0）（*）表示过P点的直线系。当参数为一组确定的值时，（*）表示一条过P点的直线。
特别地，当时，（*）式即；
当时，（*）式即。
对于以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.
又若与平行，这时（*）式表示所有与平行的直线。
2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等）
圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点与到一条定直线(点不在直线上）的距离之比为常数的点的轨迹:
当时, 点的轨迹是椭圆，
当 时, 点的轨迹是双曲线，
当 时, 点的轨迹是抛物线，
其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，
定直线是圆锥曲线的准线，焦点在X轴上的曲线的准线方程为。
3、圆锥曲线和直线的参数方程
圆的参数方程是，其中是参数。
椭圆的参数方程是，其中是参数，称为离心角。
双曲线的参数方程是，其中是参数。
抛物线的参数方程是，其中是参数。
过定点，倾斜角为的直线参数方程为，为参数。（关注几何意义）。
4、圆锥曲线的统一极坐标方程
以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为，其中为离心率，是焦点到相应准线的距离。
二、热身练习：
1、（07武大）如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】圆锥曲线的离心率，
椭圆中：∴，得
双曲线中：，得，故选择C。
2、（07武大）点P为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】本题可以直接用坐标法来处理，解答如下：
设点
∴
所以答案选择D。
3、（11复旦）椭圆上的点到圆上的点距离的最大值是（ ）
（A）11 （B） （C） （D）9
【答案】
【解析】由平面解析几何的知识，椭圆上的点到圆
上的点距离的最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。
设椭圆上点的坐标，圆的圆心 ，则：
（当时取等号）
∴所求距离的最大值=10+1=11。
4、（11卓越）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为，则抛物线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】设抛物线方程为，则，联立直线与抛物线方程消去得：
，，
从而根据点在抛物线上得：
解得：或（舍去），故选。
三、真题精讲：
精选近年真题中较典型的题目，考查常用知识方法的例题，5-6道，中等与较难的比例为2：1。
例1、（11卓越）已知椭圆的两个焦点为、，且椭圆与直线相切。
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于P、Q及M、N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值。
【解析】（1）由题知： 所以可设椭圆方程为
∵椭圆与直线相切
∴方程组只有一个解，
即方程有两个相等的实数根
所以
解得
所以椭圆方程为
（2）当斜率不存在（或为0）时，
当斜率存在（且不为0）时，设为，则的斜率为（）
所以的方程为
设与椭圆的交点坐标，联立方程
∴为方程的根
∴
同理
所以
因为，当且仅当时等号成立。
所以
综上所述，的面积的最小值为，最大值为。
例2、（11华约）双曲线，是左、右焦点，P是右支上任一点，且。
（1） 求离心率；
（2） 若A为双曲线左顶点，Q为右支上任一点，是否存在常数使恒成立？
【解析】（1）在中，有
∴
∴
∴
所以，
∴
（2）由（1）知双曲线的方程为：
不妨先设，此时点的坐标为
∴，为等腰直角三角形，
下面证明。 令
则
∴
所以，存在常数，使恒成立。
注：设是椭圆（或是双曲线）上一点，（分别是左右焦点），则。
例3、（08武大）已知A、B两点在椭圆上，直线AB上两个不同的点P、Q满足，且P点坐标为。
（1）若，求证：点Q在椭圆准线上；
（2）若为大于1的常数，求点Q的轨迹方程。
【解析】（1）证明：设
若轴，则，即两点重合，与已知矛盾；
设，则
当时，则为椭圆的右焦点；
则；
其中由图形可知：，化简可以得到，即点在准线上；
（2）解：设，则
，同理；
，；
即 由图像
于是：
整理得到：；
联立，消去得：
从求解过程中发现，不论点的纵坐标为何值，点的横坐标均为；
故：点的轨迹方程为；
例4、、（10武大）对于抛物线上的两相异点A、B，如果弦AB不平行于轴且其垂直平分线交轴于点P，那么称弦AB是点P的一条相关弦。已知点存在无穷多条相关弦，其中。
（1）证明：点的所有相关弦的中点的横坐标均相同；
（2）试问：点的所有相关弦中是否存在长度最大的弦？若存在，则求此最大弦长（用表示）；若不存在，则阐述理由。
【解析】（1）设AB为点的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
、,则,,
两式相减得。因为,所以。
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是,则
。
从而AB的垂直平分线l的方程为,
又点在直线l上，所以,
而，于是。
故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都是。
(2)由(1)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，
整理得（*）
则是方程（*）的两个实根，且，
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
因为,于是设,则。
记
若,则,所以当,即时,
l有最大值。
若,则,在区间上是减函数，所以
,l不存在最大值。
综上所述，当时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为；当2<x03时，点的“相关弦”的弦长中不存在最大值。
例5、（2012“卓越联盟”）抛物线为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于
（1）证明：是的等差中项；
（2）若为平行于轴的直线，其被以为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程。
【解析】（1）设由抛物线的定义知：
又中垂线交轴于故，又因为，
所以，
故，所以是的等差中项。
（2）因为所以设圆心.
设直线的方程为由于弦长为定值，故为定值，这里为圆的半径，
为圆心到的距离。
令，即时，为定值，
故这样的直线的方程为
例6、（10同济）已知动直线经过点，交抛物线于A、B两点。坐标原点O是PQ的中点，设直线AQ、BQ的斜率分别为。
（1）证明：；
（2）当时，是否存在垂直于轴的直线，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
解析：
【解析】（1）设，.
直线AQ交抛物线于，则直线AQ：，直线AB：，先将代入中
所以，同理。所以。
所以B与C关于x轴对称即与关于x轴对称，所以.
（2）因为，所以抛物线为：，那么可设，又，并可得A、P中点，。
如图，则圆的半径
再设直线l’存在且为：。那么要使被以AP为直径的圆截得的弦长为定值C；
则，（这里表示到直线的距离）
解得
即。所以直线存在，为
四、重点总结：
本章主要考查内容：圆锥曲线的第一、第二定义；几何性质；直线与二次曲线的交点及弦长问题；有关最值和定值问题的证明和求解等。
命题规律和特点：各个学校的特点不一样，整体没有规律可言，但所有的题目均在以上所写的几个内容范围之内，就是用代数运算解决几何问题，本章整体的特点是解答题运算量较大，涉及到求最值的问题一般用韦达定理设而不求，化简后转化为函数求最值得问题，函数的思想解决相关问题。
备考建议：学生在复习本章节内容时多注重定义、几何性质和韦达定理的运用，记住某些常用的公式，例如焦点三角形的面积公式及推导，要多做练习以提高计算能力。
五、强化训练：
A组
1、（09华南）已知圆，点是圆内一点。过点的圆的最短的弦在直线上，直线的方程为，那么（ ）
（A），且与圆相交 （B），且与圆相切
（C），且与圆相离 （D），且与圆相离
【答案】
【解析】易知，当时，过点的弦长最短；若最短的弦在直线上，则是直线的一个法向量；故，即，；
另外：圆心到直线的距离，故与圆相离；
2、（01复旦）抛物线的准线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】将抛物线图像向右平移个单位得到抛物线的图像；
抛物线的准线方程为，故抛物线的准线方程为；
3、（10复旦）已知常数满足。设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线，则和的离心率之比等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
【答案】
【解析】由条件可设的方程式，的方程式。又、过原点，故
由知，故，从而前应带负号，前应带正号，且，所以，得
4、（10复旦）将同时满足不等式，，的点组成的集合D称为可行域，将函数称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点使目标函数达到可行域上的最小值。如果这个规划问题有无穷多个解，则的取值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】题中的可行域为图中的阴影部分，表示点与阴影部分中的点的连线的斜率。要使问题有无穷多解，则点到直线上，即，故
5、（10复旦）已知是以为圆心、为半径的圆周，两点、在以为起点的射线上，并且满足，则称、关于圆周C对称。那么，双曲线上的点关于单位圆周的对称点所满足的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】
【解析】任取点在双曲线上，设其关于圆周的对称点，则，即.
令，则，
故，即所满足的方程是
6、（06武大）过点的动直线交圆于A、B两点，分别过A、B作圆C的切线，如果两切线相交于点Q，那么点Q的轨迹为（ ）
（A）直线 （B）直线的一部分 （C）圆的一部分 （D）双曲线的一支
【答案】
【解析】设点A、B、Q，因为直线AQ、BQ与圆相切，所以直线AQ的方程为：，直线BQ的方程为：。又因为点Q在这两条直线上，所以有，，则A、B都满足方程，
且经过A、B两点的直线唯一，故AB所在直线方程为，又因为点在直线AB上，所以，故点Q在直线上，而直线与圆相交，而点Q不在圆内，所以点Q的轨迹为直线的一部分。
7、（06武大）以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相离，则此曲线是（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
【答案】
【解析】设AB是圆锥曲线的焦点弦，A、B到相应焦点的距离分别为，圆锥曲线的离心率为e，则它们到相应准线的距离分别为，圆心到准线的距离为，而圆的半径，因为圆和相应准线相离，故，即对应的圆锥曲线为椭圆。
8、（07武大）如果直线平分圆的周长，那么的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由题意可知，直线经过圆的圆心，所以，即，所以，所以当且仅当时等号成立。所以。
9、（11复旦）设有直线族和椭圆族分别为（为实数，为参数）和（是非零实数），若对于所有的，直线都与椭圆相交，则应满足（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】注意到直线恒过定点，对所有，直线与椭圆相交，则当且仅当在椭圆的内部，所以，即。
10、（10同济）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是。
【答案】
【解析】圆的方程为：，
圆心： ，半径为，
若圆上至少有3个点到直线的距离为，则直线与圆必相交，否则满足条件的点最多只有两个。
因而只需满足圆心到直线的距离，即，
整理得： 。解出即可。
11、（07武大）如果直线与圆相交，且两个交点关于直线对称，那么实数的取值范围为。
【答案】
【解析】因为两个交点关于直线对称，而这两个交点均在直线，
所以直线垂直于直线，即有。
设两个交点为A、B，由垂径定理，AB中垂线必过C（C为圆心），而A、B关于直线对称，故C在上，得，所以圆的方程为，即，则。只要圆与直线有两个交点即可，把代入方程，有。
由解得。
12、（06复旦）已知曲线，曲线C关于直线对称的曲线为曲线，曲线与曲线关于直线对称，求曲线的方程。
【解析】任取上一点，则关于直线的对称点在C上，从而解得
代入曲线C方程，得，化简并由的任意性，知曲线的方程为
任取在是C上的点，是上的点，是上的点，由
，知其交点。由关于对称，得；由关于对称，得。又易知直线与垂直，故与直线平行，从而。
所以，从而为的中点，故曲线C与关于点对称，所以曲线方程为，即
B组
1、（08交大）曲线与圆交于A、B两点，线段AB的中点在上，求。
【解析】设，，联立，
因为线段AB的中点在上，所以
，
解得或（舍）
所以
2、（08浙大）椭圆与抛物线有公共点，求的取值范围。
【解析】由条件，设椭圆的方程为：
代入抛物线方程得：，从而
因为
3、（09浙大）双曲线的离心率为，、两点在双曲线上，且。
（1）若线段AB的垂直平分线经过点，且线段AB的中点横坐标为，试求的值；2
（2）双曲线上是否存在这样的点A与B，满足？不存在
【解析】（1）由条件得离心率，得，从而双曲线方程为，
又因为在双曲线上，故.
由得
即：，
由知，，即，从而
（2）假设存在点，使得，则
由，得：
故 所以不存在点满足要求。
4、（08武大）已知点，点A在轴上，点B在轴的正半轴上，点M在直线AB上，且满足，。
（1）当点A在轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（2）设Q为（1）中的曲线C上一点，直线过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，与曲线C相交于另一点R，当（O为坐标原点）时，求直线的方程。
【解析】（1）设，则由射影定理，有，
故 ，即. 由，
故的轨迹方程为
（2）设，点处的切线斜率为，故
代入抛物线方程，解得：
由，解得：，
整理得：. 所以直线的方程：
5、（08南开）抛物线，P在M上，Q在N上，求P、Q的最小距离。
【解析】抛物线关于直线对称；
根据图像的对称性，设直线与抛物线相切；
直线与抛物线相切；通过联立方程，
利用分别解得：；
于是：。
6、（09清华）已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于Q，与轴交于R，过原点与平行的直线与椭圆交于P。求证：，，成等比数列。
【解析】若直线的斜率不存在，则直线不可能与椭圆有两个交点，故设；
令，则，，故；
联立，消去得：，
；
联立，消去得：，
，
成等比数列。
