2019届二轮复习专题1.2命题及其关系、充分条件与必要条件学案（全国通用）

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲

1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

知识梳理

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

4.　集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

典型例题

考点一　四种命题的关系及其真假判断

【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)

A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

【答案】C

【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A.真、假、真    B.假、假、真

C.真、真、假    D.假、假、假

【答案】B

【解析】 由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.

 (3) [2017·郑州模拟]给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④若ab是正整数，则a，b都是正整数．

其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)

【答案】　①③

规律方法   1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．

3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

【变式训练1】

 (1)[2017·宁夏银川]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　)

A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0

B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

【答案】D

【解析】　将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.

（2）已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)

A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题

B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

【答案】D

（3）[2018·唐山检测]给出下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

④“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；

其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)

【答案】①②

【解析】　　①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题；④“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．

考点二　充分条件与必要条件的判定

【例2】（1）“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件．

【答案】必要不充分条件．

【解析】x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1；反之，由x＝1可得x(x－1)＝0.故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．

(2)[2015·安徽卷]设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的________条件．

【答案】必要不充分

【解析】因为p：x＜3，q：－1＜x＜3，所以q⇒p，但pq，所以p是q成立的必要不充分条件．

（3)[2014·浙江卷]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．

【答案】充分不必要

【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

(4) [2016·四川高考]设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．

（5)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　)

A.充要条件    B.充分不必要条件

C.必要不充分条件      D.既不充分也不必要条件

【答案】B

规律方法　充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.

【变式训练2】 (1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的(　　)

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件

C．充要条件             D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】　|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.

由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，

所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件．

(2) 给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】　A

【解析】因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pq，其逆否命题为p⇒綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件．

（3）(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A.充分不必要条件            B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【答案】A

（4）“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(　　)

A．充分不必要条件           B．必要不充分条件

C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】 “a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．

（5） (2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)

A．充分而不必要条件          B．必要而不充分条件

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】∵<，∴－<θ－<，即0<θ<.

显然0<θ<时，sin θ<成立．

但sin θ<时，由周期函数的性质知0<θ<不一定成立．

故0<θ<是sin θ<的充分而不必要条件．

考点三　充分条件、必要条件的应用

【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

【答案】[0,3]

【题点发散1】　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

【答案】不存在

【解析】若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴∴

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

【题点发散2】　把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．

【答案】m的取值范围是[9，＋∞)

【解析】由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则解得m≥9，

即所求m的取值范围是[9，＋∞)．

．

规律方法　根据充要条件求参数的取值范围

解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解；涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将﹁p，﹁q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．

【变式训练3】

（1）已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B．(－∞，1]

C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)

【答案】A

(2)[2017·江西南昌模拟]已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　)

A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)

C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)

【答案】B

【解析】　条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，

又因为p是q的充分不必要条件，所以有解得m≥9.

（3）已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是<x<，则m的取值范围是(　　)

A. B．

C. D．

【答案】D

【解析】由|x－m|<1得m－1<x<1＋m，

又因为|x－m|<1的充分不必要条件是<x<，借助数轴，所以解得－≤m≤.

(4)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：a≤x≤a＋1.若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.

【答案】0≤a≤

【解析】命题p为，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

﹁p对应的集合A＝，﹁q对应的集合B＝.

∵﹁p是﹁q的必要不充分条件，

∴或∴0≤a≤.学-科网

课堂总结

[思想方法]

1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.

2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.

3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

课后作业

1．[2015·山东卷]设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

【答案】D

【解析】根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.

2．[2015·北京卷]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的(　　)

A．充分而不必要条件                   B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                        D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β Dα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．

3. [2018·广东六校联考] “不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m>   B．0<m<1

C．m>0   D．m>1

【答案】C

【解析】不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝1－4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.

4.(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A.充要条件    B.充分不必要条件

C.必要不充分条件   D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】　x>yx>|y|(如x＝1，y＝－2).

但x>|y|时，能有x>y.

∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.

5．[2018·江西模拟]若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B.

6．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)

A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件

C．充要条件                     D．既不充分也不必要条件

【答案】B　

【解析】∵2－x≥0，∴x≤2.

∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.

∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，

∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．

7．[2018·天津模拟]设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】　A[来源:Z。xx。k.Com]

【解析】|x－2|<1⇔－1<x－2<1⇔1<x<3；x2＋x－2>0⇔x<－2或x>1.由于(1,3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．

8.已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件[来源:学科网ZXXK]

【答案】A

9．[2015·重庆卷]“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(　　)

A．充要条件                  B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件          D．既不充分也不必要条件

【答案】B[来源:Zxxk.Com]

【解析】∵ x＞1⇒log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴ x＞1是log(x＋2)＜0的充分而不必要条件．

10．[2016·四川卷]设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)

A．必要不充分条                B．充分不必要条件

C．充要条件                    D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，故选A.