2019届二轮复习坐标系与参数方程学案（全国通用）



1．坐标系
（1）理解坐标系的作用.
（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.学
（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
2．参数方程
（1）了解参数方程，了解参数的意义.
（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

一、坐标系
1．极坐标系的概念
在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或

3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；
(3)当圆心位于，半径为a：ρ＝2asinθ.
4．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过且平行于极轴：ρsin θ＝b.
二、参数方程
1.直线的参数方程
若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.
2.圆的参数方程
若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.
3.椭圆的参数方程
若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为0≤t≤2π.
【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧
1.参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.学
2.普通方程化为参数方程
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.
二、直线与圆锥曲线的参数方程的应用规律
解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为:
第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程;
第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.
另外,当直线经过点P(x0,y0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的参数方程设成(t为参数),交点A,B对应的参数分别为t1,t2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t1+t2,t1·t2,得到 AB = t1-t2 =.

考向一 平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．

典例1 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线变为曲线，求曲线的标准方程及参数方程.
【答案】x2＋y2＝4，（ 为参数）

【名师点睛】本题考查根据转移法求动点轨迹，考查基本分析求解能力，属基础题.先根据变换，结合转移法确定曲线的标准方程，再根据三角函数平方关系得参数方程.
典例2 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，
依题意，得.
由x＋y＝1得，
故曲线C的方程为.


1．把曲线（为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线为
A． B．
C． D．
考向二 极坐标和直角坐标的互化
1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．
2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．学

典例3 设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为__________．
【答案】

【点评】在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．

2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，它在点处的切线为直线l.
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
考向三 参数方程与普通方程的互化
1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．

典例4 在平面直角坐标系xOy中，曲线：（是参数），曲线：（是参数），若曲线与相交于A，B两个不同点，则 AB =_______.
【答案】

【名师点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组求出A、B的坐标，再求出 AB 的长．学
典例5 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为 (θ为参数)．
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）2x－y－2a＝0，x2＋y2＝16；（2）－2≤a≤2.


3．在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为： ，： ．
（1）求曲线的普通方程；
（2）已知点，若曲线与曲线交于两点，求的取值范围．
考向四 极坐标方程与参数方程的综合应用
参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决.

典例6 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标．
【答案】（1），；（2）最小值为，点的直角坐标为．
【解析】（1）由可得，即，
故曲线的普通方程为，
由可得，即，即，故曲线的直角坐标方程为．学


4．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线(为参数)与曲线交于两点.
（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求出此时点的极坐标；
（2）求的值.


1．若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是
A．相交而不过圆心 B．相交过圆心
C．相切 D．相离
2．已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则
A． B．4
C．2 D．
3．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为
A． B．
C． D．
4．参数方程t为参数)所表示曲线的图象是

5．已知直线(t为参数)与曲线交于两点，则
A．1 B．
C．2 D．
6．直线(为参数)对应的普通方程是__________.
7．参数方程为为参数)的曲线的焦点坐标为__________.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为(t为参数)，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线与圆交于B、C两点，则线段BC中点的直角坐标为________.
9．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中，曲线，直线（为参数）.
（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；
（2）若把上各点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.设，直线与曲线交于两点，求.









10．已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为直线的直角坐标方程为.
（1）求曲线和直线的极坐标方程;
（2）已知直线分别与曲线、曲线交于（异于极点），若的极径分别为求的值.






11．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；
（2）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求的值．








12．在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
（1）若,求直线交曲线所得的弦长;
（2）若上的点到的距离的最小值为1,求.





13．在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求与交点的极坐标；
（2）已知直线，点在曲线上，求点到的距离的最大值.












14．在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,且直线与圆相交于不同的两点.
（1）求线段垂直平分线的极坐标方程;
（2）若,求过点与圆相切的切线方程.





15．在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．
（1）求曲线的参数方程；
（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．










1．（2017江苏）在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．








2．（2017新课标II卷文）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．








3．（2017新课标III卷文）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当 变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.









4．（2017新课标I卷文）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.







5．（2018江苏）在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．










6．（2018新课标I卷文）在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.











7．（2018新课标II卷文）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．









8．（2018新课标III卷文）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．










变式拓展

1．【答案】B

【名师点睛】本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为直角坐标方程，是基础题．根据题意，写出曲线C2的参数方程，消去参数，化为直角坐标方程．
2．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵曲线C的极坐标方程为，
∴，
∴曲线C的直角坐标方程为，
∴，
又的直角坐标为（2，2），
∴.学
∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为 ，
即直线l的直角坐标方程为 .
（2）
不妨设P1(1，0)，P2(0，-2)，则线段P1P2的中点坐标
所求直线斜率为
于是所求直线方程为y+1
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ+4ρsin θ=-3，即ρ
【名师点睛】这个题目考查了极坐标和直角坐标的互化，涉及中点坐标的计算，导数的几何意义，即函数在某点处的导数值即为在该点处的切线的斜率.
（1）先将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，再由导数的几何意义得到切线的斜率，根据点斜式得到切线方程；
（2）联立直线和椭圆得到两点坐标，再由中点坐标公式得到中点坐标，直线斜率为 进而得到直线方程.
3．【答案】（1）；；（2）.

（2）将：代入：，
化简整理得：，
设两点对应的参数分别为，
则恒成立，，
，
，
.
【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化及直线参数方程参数几何意义的应用，属于基础题.
（1）由，消参即可得普通方程；
（2）由直线的参数方程与椭圆方程联立，利用直线参数的几何意义，可知，从而得解.学
4．【答案】（1）取得最大值，；（2）.
【解析】（1），
当时，取得最大值，此时的极坐标为．

【名师点睛】本题考查直线的参数方程、点与圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及消去参数方程中的参数的几何意义.把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.
（1）曲线的扱坐标方程化为，由三角函数的有界性可得当时，取得最大值，从而得的极坐标；
（2）由，得，利用互化公式可得直角坐标方程. 将为参数）代入，并整理得：，利用根与系数的关系，根据直线参数方程的几何意义可得结果.
考点冲关

1．【答案】A

【名师点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心到直线的距离，得到直线与圆的位置关系为相交．
2．【答案】D
【解析】圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得：x2+y2=4x，配方为：（x﹣2）2+y2=4，其圆心为C（2，0），点P的极坐标为（4，），化为直角坐标为，则 CP =2．
故选D．
【名师点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．分别化为直角坐标方程，利用两点之间的距离公式即可得出．
3．【答案】B

【名师点睛】本题主要考查了平面直角坐标与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出答案，较为基础.先求出曲线的平面直角坐标系的方程，求出中点在平面直角坐标系的坐标，然后再求出其极坐标.
4．【答案】D
【解析】因为，所以,当时，y=0，排除C；由,所以,当时，;当时，, ,故排除A、B.
故答案为D．学
5．【答案】C
【解析】由条件可知：直线为x-y-1=0.由 曲线,
可化为即圆心为，半径,由圆心在直线上，则.
故选C．
6．【答案】
【解析】削去参数,可得;即直线对应的普通方程是.
7．【答案】
【解析】由题意，消去参数t可得,则抛物线的焦点坐标为(1,0).
8．【答案】

【名师点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用.参数方程转化为直角坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以，再代入公式.本题将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程转化为普通方程，再求解.
9．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由曲线，即，化为直角坐标方程，圆心为，半径为；
由直线（为参数）化为普通方程，
所以圆心到直线距离，
所以上的点到的最小距离为.

【思路点拨】（1）由极坐标和直角坐标的转化，参数方程和直角坐标的转化关系，可求出结果，然后再根据直线和圆的位置关系，即可求出结果；学
（2）由题意得伸缩变换为，得到，联立的参数方程和的直角坐标方程得.因为，所以，利用根与系数的关系即可求出结果.
10．【答案】（1）为参数),；（2）3.
【解析】（1）曲线的参数方程为为参数),
极坐标方程为
∵直线的直角坐标方程为
故直线的极坐标方程为.

11．【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）∵，
∴，
∴曲线C的直角坐标方程为．
∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴．
∴直线l的极坐标方程为．
（2）将代入曲线C的极坐标方程得，
∴A点的极坐标为．
将代入直线l的极坐标方程得，解得．
∴B点的极坐标为，
∴．学 ?
【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．
（1）先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；
（2）将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出 AB ．
12．【答案】（1）；（2）.

13．【答案】（1）与交点的极坐标为与；（2）点到的距离的最大值为.
【解析】（1）由题意得的直角坐标方程为，的普通方程为.
由，解得或．
∴曲线与的交点为.
∵，
所以与的交点极坐标为，．

【思路点拨】（1）将曲线，的方程分别化为直角坐标方程和普通方程，用解方程组得到两曲线的交点，再化为极坐标方程．
（2）先求出圆心到直线的距离，再根据几何图形求解．
14．【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）消去参数,得直线的普通方程为,斜率为1,
所以直线的斜率为.
因为圆的极坐标方程可化为,
所以将代入上述方程,
得圆的直角坐标方程为,
配方,得,
其圆心为,半径为).
由题意知直线经过圆心,
所以直线的方程为,即,
所以由,得直线的极坐标方程为.
（2）当所求切线的斜率存在时,
设切线方程为,即,
由圆心到直线的距离等于半径,得,
解得,所以所求切线的方程为;
当所求切线的斜率不存在时,切线方程为.学
综上,所求切线的方程为或.
15．【答案】（1）；（2），.

（2）设四边形的周长为，设点，
∴，且，，
，
，
，
，且当时，取最大值，此时，
∴，，此时.
【名师点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.
（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；
（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.
直通高考

1．【答案】．

【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．
2．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设的极坐标为，M的极坐标为，
由题设知．
由得的极坐标方程．
因此的直角坐标方程为．

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．
3．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）消去参数得的普通方程；
消去参数m得l2的普通方程.
设,由题设得，消去 得.
所以C的普通方程为.学
（2）C的极坐标方程为.
联立得.
故，从而.
代入得，
所以交点M的极径为.
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
4．【答案】（1），；（2）或.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.
5．【答案】．
【解析】本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
因为曲线C的极坐标方程为，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，
则直线l过A（4，0），倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，

所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
6．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．学
7．【答案】（1）见解析；（2）−2.
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．

8．【答案】（1）；（2）为参数，．
【解析】（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．
与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，
则，且，满足．
于是，．
又点的坐标满足学 /
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．