2019届二轮复习平面向量的概念及线性运算学案（江苏专用）

【考纲解读】

【直击考点】

题组一  常识题

1． 化简(的结果是        ．

[解析] 原式＝

2． 若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则x＝              ．

3． a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则a＋b表示向        方向走        km.

[解析] 易知a＋b表示向东南方向走 km.

4．已知M是△ABC的边BC上的中点， ＝a， ＝b，则＝        ．

[解析] (a＋b)．

题组二　常错题

5．若四边形ABCD满足，则四边形ABCD的形状是        ．

[解析]  ，所以四边形ABCD是梯形．

6．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，且b是非零向量，则a与c的关系是        ．

[解析] 由共线向量的概念知，向量a与向量c共线．注意：若b是零向量，则向量a与向量c的关系不确定．

7．已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝3，则|a＋b|的取值范围是        ．

[解析] 当a与b的方向相同时，|a＋b|＝4；当a与b的方向相反时，|a＋b|＝2；当a与b不共线时，2<|a＋b|<4.综上可知，|a＋b|∈[2，4]．

题组三　常考题

8． 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则        .

[解析] 因为D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以.

9． 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝        ．

[解析] 因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所以解得λ＝t＝.   

【知识清单】

考点1  向量的有关概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

考点2  平面向量的线性运算

一．向量的线性运算

二．向量的数乘运算及其几何意义

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： 学, , ]

①；②；③.

考点3共线向量

共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa..

【考点深度剖析】

本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容．但由于本章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基本内容为主．

【重点难点突破】

考点1  向量的有关概念

【1-1】给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若是不共线的四点，则＝是四边形为平行四边形的充要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中假命题的个数为        .

【答案】3 

【1-2】给出下列命题：

①的充要条件是且；

②若向量与同向，且，则；

③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；

④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；

⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

⑥任一向量与它的相反向量不相等．

其中真命题的序号是        ．

【答案】⑤ 学, , ]

【解析】①当与是相反向量时，满足且，但≠，故①假；

②向量不能比较大小，故②假；

③与任意向量平行，故③假；

④当与中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假；

⑤由相等向量定义知，⑤真；

⑥的相反向量仍是，故⑥假．   

【思想方法】

(1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．

(2)几个重要结论

①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；

②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．

【温馨提醒】忽略与0的区别，把零向量误写成0而致误．  ]

考点2  平面向量的线性运算

在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝，＝＋λ，则λ等于        .

【答案】

【2-2】平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.

【答案】=a＋b, a＋b，＝a－b.

【解析】＝a－b，＝＝a－b，

＝a＋b，＝a＋b，

＝＋

＝＝a＋b，

＝a－b.

【思想方法】

1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．

2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

【温馨提醒】注意向量运算的几何意义   

考点3共线向量

【3-1】在中，分别为的中点，相交于点，设，试用表示.

【答案】

【3-2】已知是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点一定在        .

【答案】AC边所在直线上

【解析】由得，∴.则为共线向量，又有一个公共点三点共线，即点在直线上．

【思想方法】

1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值；

2.若不共线，则的充要条件是；这一结论是解决求参数问题的重要依据；

3.若，则三点共线.

【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a≠0”这一条件

【易错试题常警惕】

 向量线性运算应注意的问题

(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。

 (2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个。

(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。

(4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合。

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