2019届二轮复习平面向量的基本定理及坐标表示学案（江苏专用）

【考纲解读】

【直击考点】

题组一  常识题

1． 已知＝(－1，3)，B(2，5)，则点A的坐标为        ．

2． 已知a＝(2，－6)，b＝(3，7)，则2a＋3b＝        ．

[解析] 2a＋3b＝2(2，－6)＋3(3，7)＝(4＋9，－12＋21)＝(13，9)．

3． 已知a＝(－1，2)，b＝(sin θ，cos θ)，且a∥b，则tan θ＝        ．

[解析] 由a∥b得(－1)·cos θ－2·sin θ＝0，所以tan θ＝＝－.  

4．已知e1，e2是平面向量的一组基底，a＝λe1＋2e2，b＝3e1－e2，若a与b共线，则λ＝        ．

[解析] 设b＝ka，则b＝k(λe1＋2e2)＝kλe1＋2ke2，即3e1－e2＝kλe1＋2ke2，所以kλ＝3且2k＝－1，所以λ＝－6.

题组二　常错题

5．在等边三角形ABC中，若＝a，＝b，则a，b的夹角为        ．

[解析] 两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，本题中a，b的夹角易错认为是60°.

6．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量共线的单位向量为        ．

[解析] 由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，因此与共线的单位向量为±＝±.

题组三　常考题

7． 已知点A(1，0)，B(2，3)，向量＝(－4，3)，则向量＝        ．

[解析] ∵＝(2－1，3－0)＝(1，3)，∴＝＋＝－＝(1，3)－(－4，3)＝(5，0)．

8． 已知向量a＝(m，－2)，b＝(1，m－3)，且a∥b，则m＝        ．

[解析] 依题意有m(m－3)－(－2)×1＝0，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2.

9．如图4­24­1所示，在平行四边形ABCD中，＝3，则＝        ，＝        (用向量和表示)．]

   | ]

[解析] 因为＝3，所以＝＋＝＋，＝＋＝－.

【知识清单】

考点1  平面向量基本定理及其应用

平面向量基本定理

如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

考点2  平面向量的坐标运算

1. 平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．

(2)若，则．   ]

3．平面向量的坐标运算

(1)若，则；

(2)若，则．

(3)设，则，.

考点3平面向量共线的坐标表示

向量共线的充要条件的坐标表示

若，则⇔

【考点深度剖析】

平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和数形结合的思想．

【重点难点突破】

考点1  平面向量基本定理及其应用

【1-1】如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝，＝，若＝2，则＝       (用向量和表示)．

【答案】

【解析】∵＝，∴，且，∴＝＝ (＋)

＝＝.

【1-2】如图，已知＝，用，表示，则等于         .

【答案】－＋

【解析】＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋.

【思想方法】

1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．

2.特别注意基底的不唯一性：

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

【温馨提醒】基底不共线

考点2  平面向量的坐标运算

【2-1】已知平面向量=，=，则2+3=         .

【答案】（﹣4，﹣8）

【解析】

试题分析：因为=，=，.

【2-2】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为         .

【答案】

【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．

【思想方法】涉及平面向量坐标运算的题目，往往与平面解析几何曲线方程有关.灵活应用曲线的方程，联立方程组，利用函数方程思想予以解答.

【温馨提醒】注意向量坐标与点的坐标的区别：

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．   

考点3平面向量共线的坐标表示

【3-1】已知平面向量，且，则         . 

【答案】

【解析】∵，∴，∴，∴，∴.

【3-2】设向量=，=，则“”是“//”的         条件.

【答案】充分而不必要

【思想方法】1.向量共线的充要条件有两种：

（1）⇔.

（2）若，则⇔.

当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.

2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等..

【温馨提醒】注意结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．

【易错试题常警惕】

 (1)注意0的方向是任意的；
(2)若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表

示为x1y2－x2y1＝0