2019届二轮复习平面向量的数量积学案（江苏专用）

【考纲解读】

【直击考点】

题组一  常识题

1．已知在△ABC中，B是最大内角，·<0，则△ABC的形状是            ．

[解析] 设与的夹角为θ，则·＝||·||cos θ<0，得cos θ <0，所以cos B＝cos(π－θ)>0，所以B为锐角．又B是三角形的最大内角，所以△ABC为锐角三角形．

2．在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则·＝        ．

3．已知向量a＝(4，2)，b＝(1，－1)，则向量b在向量a上的投影为      ．

[解析] ∵向量a＝(4，2)，b＝(1，－1)，

∴向量b在向量a上的投影为＝＝.

4．已知力F1和F2的合力为12 N，F1为24 N，力F2与合力F的夹角为90°，则力F1与F2的夹角的大小为        ．

[解析] 由向量加法的平行四边形法则知，α＝β＝90°，|F|＝12 N，|F1|＝24 N，所以θ＝60°，所以β＋θ＝150°.  

题组二　常错题

5．在△ABC中，若＝1，＝2，则AB边的长度为        ．

6．已知 ＝(2，－1)，＝(3，3)，则向量在上的投影为        ．

　[解析] 向量在上的投影为＝＝.    

题组三　常考题

7． 已知向量＝，＝，则∠ABC＝        ．

[解析] 因为cos∠ABC＝＝－，所以∠ABC＝150°.

8．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝        ．

[解析] 由|2a＋b|＝，两边同时平方得4a2＋4a·b＋b2＝7，即|b|2＋2|b|－3＝0，解得|b|＝1或|b|＝－3(舍去)．

9． 已知向量a＝(3，4)，b＝(x，1)，且(a＋b)·b＝|a|，则实数x＝        ．

【知识清单】

考点1  平面向量数量积的运算

一、两个向量的夹角

1．定义

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

2．范围

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

3．向量垂直

如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.

二、平面向量数量积

1．已知两个非零向量a与b，则数量|a b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

规定0·a＝0.

当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.

2．a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

三、向量数量积的性质   .   ]

1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.  ]

2．a⊥ba·b＝0.

3．a·a＝|a|2，.

4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)

5．|a·b|≤|a b|.

四、数量积的运算律

1．交换律：a·b＝b·a.

2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

五、数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：

1．a·b＝a1b1＋a2b2.

2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.

3．|a|＝.

4．cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角)

考点2  向量的夹角与向量的模

1. a·a＝|a|2，.

2．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)

3. a⊥ba1b1＋a2b2＝0.

4.|a·b|≤|a b|.

考点3 向量数量积的综合应用

1. a·a＝|a|2，.

2．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)

3. a⊥ba1b1＋a2b2＝0.

【考点深度剖析】

这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一．  + +k ]

【重点难点突破】

考点1  平面向量数量积的运算

【1-1】已知则向量在向量上的投影等于          .

【答案】

【解析】∵，而在上的投影为.

【1-2】已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·＝          .

【答案】8

【思想方法】

1.平面向量数量积的计算方法

①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a b|cosθ求解；

②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．

2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算

【温馨提醒】平面向量的数量积计算问题，往往有有两种形式，一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.

考点2  向量的夹角与向量的模

【2-1】是两个向量，且，则与的夹角为          .

【答案】

【解析】由知，==0，所以=-1，所以==，所以与的夹角为.

【2-2】若同一平面内向量，，两两所成的角相等，且，，，则等于          .

【答案】2或5

【解析】因为同一平面内向量，，两两所成的角相等，

所以当三个向量所成的角都是时，

，即，

所以当三个向量所成的角都是时，，   ]

故或.

【2-3】△ABC中,||=5,||=8,·=20,则||为          .

【答案】

【解析】由||=5,||=8,·=20,，又，

，由余弦定理得

【思想方法】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

【温馨提醒】涉及几何图形问题，灵活应用勾股定理、余弦定理等，有助于模的确定.

考点3 向量数量积的综合应用

【3-1】已知为坐标原点，向量，，

，且，则值为          .

【答案】   

【3-2】已知A，B，C三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈，若＝－1，则的值为          .

【答案】－

【解析】由＝(cos α－3，sin α)，

＝(cos α，sin α－3)，

得＝(cosα－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，

∴sin α＋cos α＝，∴2sin αcos α＝－，

＝＝＝－.

【3-3】已知函数，实数x，y满足，若点，，则当时，的最大值为      (其中O为坐标原点)

【答案】

【思想方法】对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解．

【温馨提醒】在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．

【易错试题常警惕】

 (1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.
(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c (a≠0)，则不一定有b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.