2019届二轮复习平面向量的运算（线性运算和坐标运算）学案（全国通用）

【考点剖析】1.命题方向预测：（1）平面向量的线性运算是考查重点．共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.（2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.2.课本结论总结：（1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.②零向量：模为0的向量，记作，其方向为任意的，所以与任意向量平行，其性质有：=0，+=.③单位向量：模为1个长度单位的向量，与方向相同的单位向量为.④相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=.⑤相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，的相反向量为-，有-(- )= .(2)向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(3) 平面向量基本定理若、是平面内不共线的向量，向量是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对，使.(4) 共线向量①共线向量概念：若两个非零向量、的方向相同或相反，则称与共线，也叫与平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.①     共线向量定理：∥（≠）存在唯一实数，使得=.②     若=（，），=（，），则∥-=0.(5) 平面向量的基本运算①若=（，），=（，），则±=（±，±），=（，），③     A（，），B（，），则=（-，-）.3.名师二级结论：（1）若A、B、C三点共线且，则=1.（2）若向量不共线，，则（3）C是线段AB中点的充要条件是.(4)若，则线段AB的中点坐标为（）.(4)G是△ABC的重心的充要条件为.(5)若△ABC的三个顶点坐标分别为，则△ABC重心坐标为(6)已知，且，则点C的坐标为.4.考点交汇展示： (1)三角函数交汇【2018届广东省汕头市潮南区高考(5月)冲刺】已知(1)若向量，，且∥，求的值.(2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围【答案】(1);(2).【解析】（1）， 即，所以.    (2)与平面几何交汇【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则（    ）A.     B.   C.     D. 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.(3)与基本不等式交汇【黑龙江省2018年仿真模拟（八）】在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（   ）A． 9    B． 10    C． 11    D． 12【答案】D【解析】【考点分类】考向一   平面向量的线性运算1.【2018届云南省红河州统一检测】在中，，，则（  ）A．     B． C．     D． 【答案】C【解析】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点. 故选2.【黑龙江省2018年仿真模拟（十一）】设是内一点，且，，则（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】A【解析】3.【2018届四川省成都市第七中学三诊】已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（  ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】【方法规律】判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：（1）       零向量的方向及与其他向量的关系.（2）       单位向量的长度与方向.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.当是线段AB的中点时，则=是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.【解题技巧】1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.4. 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．【易错点睛】1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.3. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．例1 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．【错解】　设A(－1,0)，B (3,0)，C(1，－5)，D(x，y)．[2分]因为四边形ABCD为平行四边形，则＝，而＝(x＋1，y)，＝(－2，－5)．由＝，得∴∴D(－3，－5)，故第四个顶点坐标为（-3，-5）． 【错因分析】此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解．实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形．【预防措施】认真阅读试题，分析满足条件的各种情况，若满足条件的情况有多种，需要分类讨论，分类讨论时，要做到不重不漏.【正解】如图所示，设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y)．[2分]②若四边形ACD2B为平行四边形，则＝2.而＝(4,0)，＝(x－1，y＋5)．∴∴∴D2(5，－5)．     ③若四边形ACBD3为平行四边形，则＝.而＝(x＋1，y)，＝(2,5)，∴∴∴D3(1,5)．       综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)．  考向二  共线向量问题1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则        ．【答案】2.【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】已知平面向量, , 且, 则 (     )A．     B．     C．     D． 【答案】D【解析】 3.【2018届河北省衡水中学押题卷四】设向量，是两个不共线的向量，若与共线，则实数          ．【答案】【解析】由向量共线可得：，所以：，解得【方法规律】向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.若A、B、C三点共线且，则=1.【解题技巧】1.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．2.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．【易错点睛】若＝()，＝(，)，则∥的充要条件不能表示成，因为，有可能等于0，所以应表示为.例 已知,，且，求实数的值.【错解】因为,，且，所以，解得=-3.【错因分析】已知＝()，＝(，)，错误将当做∥的充要条件，因为，有可能等于0.【预防措施】正确记忆和运用∥的充要条件，已知＝()，＝(，)，则∥的充要条件是＝0.【正解】因为,，且，∴，解得=-3或=0.【热点预测】1．【山东省2018年普通高校招生（春季）】在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（   ）A．     B． C．     D． 【答案】D【解析】因为A(2,2),B(1,1)，所以选D.2.【2018届海南省琼海市高考模拟】若，，，则以、为基底表示的等于（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】A【解析】 3．【2018届广东省佛山市南海区南海中学考前七校联合体冲刺】庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（     ）A．     B． C．     D． 【答案】A【解析】 4．【2018届广东省汕头市潮南区高考(5月)冲刺】设P是所在平面内的一点，，则（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】移项得.故选B5．【黑龙江省2018年仿真模拟(一)】点为的重心（三角形三边中线的交点），设，则 (    )A．     B．     C．     D． 【答案】D【解析】由题意知，+=，即+=，故=﹣2=﹣2，故选：D．6．【2018届安徽省安庆市第一中学高考热身】平行四边形中，是的中点，若，则(    )A．     B． 2    C．     D． 【答案】D【解析】 7．【2018届四川省宜宾县第二中学校高考适应性考试】如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则= （    ）A．     B． C．     D． 【答案】B【解析】由题意，在中，是边上的中线，所以,又因为为的中点，所以,所以，故选B. 8．【2018届河南省最后一次模拟】在平面直角坐标系中,已知三点,为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为(    )A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】 9.【2018届广东省佛山市南海区南海中学考前七校联合体高考冲刺】设向量，，若向量与同向，则         ；【答案】2.【解析】向量与同向解得向量与同向，则故答案为10．【黑龙江省2018年仿真模拟(二)】已知向量，，若，则          ．【答案】0.【解析】 11．【2019届湖北省部分重点中学高三开学】如图所示，圆及其内接正八边形．已知，，点为正八边形边上任意一点， ，、，则的最大值为                     ．【答案】【解析】由题意可知，当取最大值时，P点应位于劣弧 上以OB所在直线为x轴，以O为原点建立平面直角坐标系，设圆半径为1则 当P点位于y轴上时， ，此时 所以 解得12．【2018届炎德英才大联考长沙市一中第七次月考】已知，若，则的最小值为          .【答案】【解析】 13.【2018届宁夏回族自治区银川一中考前适应性训练】已知△的边的三等分点分别为,，若线段上一点满足： ，则的取值范围是        ．【答案】.【解析】因为，且B,C,G共线，所以，因为在线段上，所以，因此14.【2018届江苏省南通市最后一卷】如图，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于点，与轴交于点，设，求证：为定值.【答案】证明见解析.【解析】当与轴垂直时，此时点与点重合，从而，，.当点与点不重合时，直线的斜率存在.设直线的方程为，，，则.由题设，得，即.所以将代入，得，则，，，所以综上，为定值.