2019届二轮复习平面向量平面向量的概念及线性运算学案（全国通用）

2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　 30 平面向量  平面向量的概念及线性运算   【考点讲解】一、具本目标：1．平面向量的实际背景及基本概念　　（1）了解向量的实际背景.　　（2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.　　（3）理解向量的几何表示.　　2．向量的线性运算　　（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.　　（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.学   ]　　（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.备考情况：1.以考查向量的线性运算、共线为主，主要是在理解含义的基础上，进一步解题，比如利用向量的线性运算求参数. 2.单独考查平面向量的实际背景及基本概念的题目极少.3.备考重点： (1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.   二、知识概述：1．向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：结合律： 学   ]减法求与的相反向量-的和的运算叫做与的差三角形法则  二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λ，它的长度与方向规定如下：①|λ|＝|λ |；②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.3.向量共线定理：如果有一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使.4.三点共线的性质定理：(1)若平面上三点共线，则＝.(2)若平面上三点共线，为不同于的任意一点，则＝＋，且＝1.【温馨提示】(1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点．(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．(3)两个重要的结论：①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．               【真题分析】1.【2018年全国理Ⅰ】在中，为边上的中线，为的中点，则（    ）A．   B．   C．   D．【解析】本题考点是向量的和及向量的线性运算，由题意可知：，.所以有=.【答案】A 2.【2015四川文2】设向量)共线，则实数x＝(      )A.2               B.3                C.4                D.6【解析】本题考点是向量的坐标表示以及向量共线的性质的应用，因为两向量平行，所以有，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B.  学   【答案】B3.【2014课标全国Ⅰ，文6】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则(　　)．A．      B．      C．      D．【答案】A4.【2017四川七中三诊】设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（    ）A.     B. C.       D.  【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO中： ，故选A.【答案】A5.【2017·安徽六校联考】在平行四边形ABCD中，，，，则(　　)A．      B．    C． D．【答案】C6.【2015高考新课标1】设为所在平面内一点，则（  ）A.         B. C.          D. 【解析】本题考点是向量的线性运算，由题意可知=，故选A.【答案】A   学   7.【2014福建,文10】设M为□ABCD对角线的交点，O为□ABCD所在平面内任意一点，则等于   （     ）A.          B.         C.         D.【解析】本题的考点是平面向量的线性运算，相反向量的和向量是零向量.由已知得，而所以.【答案】D8.【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（  ）（A）     (B) （C）      (D) 【答案】A 9.【2016广西联考】直线过的两条对角线与的交点，与边交于点,与的延长线交于点.又知＝ ，＝，则=       .【解析】据题意,点为的中点.     ＝ ，＝    又三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得：  .【答案】2             【模拟考场】1..已知为所在平面内一点且满足：，则与的面积之比为    (    )  A．1    B.      C.         D．2【错解】 据题意为的重心，        从而∴与的面积之比为1，选A．【正解】∵,令所以，则O为的重心，从而：,∴,  ,∴的面积与的面积之比为3：2．【答案】B2.设，是非零向量，“”是“”的（   ）A．充分而不必要条件                       B．必要而不充分条件C．充分必要条件                           D．既不充分也不必要条件【答案】A3.如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么＝(　　)      A.       B.     C.      D.【解析】在中，，点是的中点，有，又因为点是的一个三等分点，所以有， 学    ]所以有.学   【答案】D4.已知向量与不共线，且，，则点A，B，C三点共线应满足 (　　)A．λ＋μ＝2          B．λ－μ＝1         C．λμ＝－1      D．λμ＝1【答案】D5.在中，点，满足，．若，则       ；       ．【解析】法一：在三角形ABC中有，在三角形CMN中，有，并且有，，所以有，所以有【答案】 学    ]法二：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.【答案】6.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（    ）A．          B．            C．            D．【答案】D 7.设向量，不平行，向量与平行，则实数         ．【解析】因为向量与平行，所以，则所以．【答案】8.如图，经过的重心的直线与分别交于点，设＝，＝，，则＋的值为        ．  消去得＋＝3.9.已知是不共线的三点，且＝＋()．(1)若＝1，求证：三点共线；      (2)若三点共线，求证：＝1.证明　(1)若＝1，则＝＋()＝＋(－)，∴－＝(－)，即＝，∴与共线．  又∵与有公共点，则三点共线．(2)若三点共线，则存在实数，使＝，∴－＝(－)．又＝＋.故有＋(－1)＝－，即()＋()＝.∵不共线，∴，不共线，∴∴＝1.     . 10.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点 (是大于0的常数).(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上的一点，且过点的直线与轴交于点，若，求直线的斜率．（2）设，直线的方程为，则点，由已知得三点共线，且 ，∴．当时，由于，，由定比分点坐标公式，得又在椭圆上，有，解得；