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2019届二轮复习求准提速，秒杀选择、填空题学案（全国通用）
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求准提速，秒杀选择、填空题
选择、填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.在高考中，选择、填空题的题量较大，共同特点是不管过程，只要结果.因此解答这类题目除直接法外，还要掌握一些解题的基本策略，避免“小题大做”.解题基本解答策略是：充分利用题目提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，提高解题速度.
方法一 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，结合有关性质或结论，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
1.已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x等于( )
A.－2 B.0 C.1 D.2
答案 B
解析 因为A＝{0，1，2，4，5}，B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，
所以或
当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}，不符合题意，舍去；
当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}，符合题意.
所以x＝0.故选B.
2.已知α满足sin α＝，则coscos等于( )
A. B. C.－ D.－
答案 A
解析 coscos＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)
＝(cos2α－sin2α)＝(1－2sin2α)＝＝，故选A.
3.(2018·山师大附中模拟)已知a，b均为正实数，且a＋b＝3，则＋的最小值为______.
答案
解析 因为a，b均为正实数，所以＋＝·(a＋b)＝＋≥＋＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)，即＋的最小值为.
4.已知抛物线C1：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|＝3，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为________.
答案
解析 设点P(x0，y0)，由抛物线定义得x0－(－1)＝3，
所以x0＝2.
又因为y＝4x0，得y0＝±2，即P(2，±2).
又因为双曲线C2的渐近线过P点，所以＝＝，
故e＝＝＝.
方法二 特值、特例法
当题目已知条件中含有某些不确定的量，可将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊情形(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，可以多取几个特例.
5.(2018·茂名市五大联盟学校联考)函数y＝xsin x＋的部分图象大致为( )
答案 A
解析 函数y＝xsin x＋是偶函数，其图象关于y轴对称，选项C，D错误；
令x＝1可得y＝sin 1＋1>0，选项B错误.故选A.
6.已知函数f(x)＝ln x－ax2＋1，若存在实数x1，x2∈[1，＋∞)，且x1－x2≥1，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当a＝0时，f(x)＝ln x＋1，
若f(x1)＝f(x2)，
则x1＝x2，显然不成立，排除C，D；
取x1＝2，x2＝1，
由f(x1)＝f(x2)，得－a＋1＝ln 2－4a＋1，
得a＝，排除A，故选B.
7.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A.3∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.∶1
答案 B
解析 将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ，
则有VP－ABC＝.
剩余部分的体积为，所以截后两部分的体积比为2∶1.
8.设坐标原点为O，抛物线y2＝2x，过焦点的直线l交该抛物线于A，B两点，则·＝________.
答案 －
解析 本题隐含条件是·的值为定值，所以·的值与直线l的倾斜角无关，所以取直线l：x＝，
不妨令A点在x轴上方.
由可得A，B，于是·＝－1＝－.
方法三 数形结合法
有些题目条件中的式子或关系具有明显的几何意义，我们可以作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的性质、特征，得出结论.
9.设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 直线y＝kx＋k(k>0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝kx＋k(k>0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以≤k<.
10.设s，t是不相等的两个正数，且s＋sln t＝t＋tln s，则s＋t－st的取值范围为( )
A.(－∞，1) B.(－∞，0)
C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
答案 D
解析 由已知s＋sln t＝t＋tln s，可得＝.
设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数.如图，作出函数f(x)的图象，由题意知f(s)＝f(t)，所以s，t为方程f(x)＝m的两个不同的解.不妨设s>t，则00，所以s＋t－st>1.故选D.
11.(2018·四川省广元市适应性统考)已知函数f(x)＝方程f(x)－a＝0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D，若函数F(x)＝f(x)－kx(x∈D)有零点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 作出函数f(x)＝的图象如图，
由图可知D＝{x|2
即方程f(x)＝kx有根，即y＝kx图象与y＝f(x)图象在(2，4]上有交点，
则k的最小值为，
设过原点的直线与y＝log2x的切点为(x0，log2x0)，
由y′＝，得k＝，
则切线方程为y－log2x0＝(x－x0)，
把(0，0)代入，可得－log2x0＝－，即x0＝e，
∴切线斜率为，即为k的最大值，
∴k的取值范围是，故选B.
12.已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围为____________.
答案 (0，1)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有四个互不相等的实根x1，x2，x3，x4，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有四个不同的交点，则00时，由对数函数的性质知，log2x3＝－log2x4，x3x4＝1，当x<0时，由y＝－x2－2x的对称性知，x1＋x2＝－2，又x1－x2>0，(－x1)＋(－x2)＝2，所以0
方法四 构造模型法
构造模型法是由题目的条件和结论的特殊性构造出几何体、函数、向量等数学模型，然后在模型中进行推导与运算，达到快速解题的目的. 构造模型法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，细致观察题目中数学结构、形式上的特点，通过分析、联想、类比接触过的数学模型，寻找灵感构造具体的数学模型.
13.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为( )
A.7π B.14π C. D.
答案 B
解析 三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以可把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.长方体的体对角线长是＝，所以它的外接球半径是，外接球的表面积是4π×2＝14π.
14.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )
A. 里 B.1 050里 C. 里 D.2 100里
答案 C
解析 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{an}，其中首项为a1，公比q＝，S7＝700， 则700＝，解得a1＝，
那么S14＝＝.
15.已知f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，若2f(x)－f′(x)<2，f(0)＝2 018，则不等式f(x)>2 017e2x＋1(其中e为自然对数的底数)的解集为______________.
答案 (0，＋∞)
解析 构造函数F(x)＝，则F′(x)＝＝>0，
故函数F(x)＝在R上为增函数，又因为F(0)＝＝2 018－1＝2 017，
因此不等式F(x)>2 017的解集为(0，＋∞).
16.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积为________.
答案 π
解析 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.
∴CD＝＝2R，因此R＝，
故球O的体积V＝＝π.
1.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45则a，b，c的大小关系为( )
A.a
解析 因为a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，显然a<1，b<1，c>1，所以c的值最大，故排除A，D选项.又因为0(log53)2，即a>b.综上b
答案 A
解析 首先注意到函数y＝2|x|－x2(x∈R)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，因此排除B和D，又当x＝0时，y＝20－02＝1>0，故排除C，故选A.
3.某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应填( )
A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?
答案 A
解析 程序在运行过程中各变量值变化如下：
k S 是否继续循环
循环前 1 1 /
第一圈 2 4 是
第二圈 3 11 是
第三圈 4 26 是
第四圈 5 57 否
故退出循环的条件应为k>4？，故选A.
4.已知函数f(x)＝若关于x的函数y＝[f(x)]2－bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 ∵函数f(x)＝
作出f(x)的简图，如图所示，
由图象可得当f(x)在(0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f(x)的值对应.
再结合题中函数y＝[f(x)]2－bf(x)＋1有8个不同的零点，
可得关于k的方程k2－bk＋1＝0有两个不同的实数根k1，k2，且0
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程f(x)＋g(x)＝－＋k(x－3)＋4＝0，即方程＝k(x－3)＋4有两个不同的解，等价于y1＝，y2＝k(x－3)＋4的图象有两个交点，
如图所示，当y2＝k(x－3)＋4过点(－3，0)时，k有最大值，此时k＝＝.当直线y2＝k(x－3)＋4与曲线y1＝相切时，恰有一个交点，此时满足＝3，所以k＝.综上，k的取值范围为，故选D.
6.在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A.2π B.4π C.6π D.8π
答案 C
解析 如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加得a2＋b2＋c2＝6，因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，所以4R2＝a2＋b2＋c2＝6，所以外接球表面积S＝4πR2＝6π.
7.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝____.
答案 18
解析 把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则·＝18.
8.若锐角α，β，γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为_____.
答案 2
解析 如图，构造长方体ABCD—A1B1C1D1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，∠C1AB＝α，∠C1AD＝β，∠C1AA1＝γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
从而有tan αtan βtan γ＝··≥＝2.
当且仅当a＝b＝c时，tan αtan βtan γ取最小值2.
9.，，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________.
答案 <<
解析 由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，
于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝′＝＝，
令f′(x)>0，得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
所以f(4)
10.在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________.
答案 an＝2n－1
解析 由an＋1＝2an＋1，
得an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，
∴数列{an＋1}是首项为2，
公比q＝2的等比数列，
因此an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.
11.若动直线x＝a(a∈R)与函数f(x)＝sin与g(x)＝cos的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为________.
答案 2
解析 实际上|MN|＝|f(x)－g(x)|，因此我们只要求|f(x)－g(x)|的最大值，令h(x)＝|f(x)－g(x)|＝＝|2sin x|，其最大值为2.
12.已知a，b，c，d∈R且满足＝＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为_____.
答案 ln2
解析 设点P(a，b)，Q(c，d)，由题设可得点P，Q分别在曲线y＝x＋3ln x，y＝2x＋3上.
则问题转化为求曲线y＝x＋3ln x上的动点P与直线y＝2x＋3上的动点Q之间的距离的最小值的平方问题.
设点M(t，t＋3ln t)是曲线y＝x＋3ln x的切点，因为y′＝1＋，故在点M处的切线的斜率k＝1＋，由题意知当1＋＝2，即t＝3时，也即当切线与已知直线y＝2x＋3平行时，此时切点M(3，3＋3ln 3)到已知直线y＝2x＋3的距离最近，最近距离为＝，也即(a－c)2＋(b－d)2的最小值为＝ln2.
选择、填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.在高考中，选择、填空题的题量较大，共同特点是不管过程，只要结果.因此解答这类题目除直接法外，还要掌握一些解题的基本策略，避免“小题大做”.解题基本解答策略是：充分利用题目提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，提高解题速度.
方法一 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，结合有关性质或结论，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
1.已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x等于( )
A.－2 B.0 C.1 D.2
答案 B
解析 因为A＝{0，1，2，4，5}，B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，
所以或
当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}，不符合题意，舍去；
当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}，符合题意.
所以x＝0.故选B.
2.已知α满足sin α＝，则coscos等于( )
A. B. C.－ D.－
答案 A
解析 coscos＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)
＝(cos2α－sin2α)＝(1－2sin2α)＝＝，故选A.
3.(2018·山师大附中模拟)已知a，b均为正实数，且a＋b＝3，则＋的最小值为______.
答案
解析 因为a，b均为正实数，所以＋＝·(a＋b)＝＋≥＋＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)，即＋的最小值为.
4.已知抛物线C1：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|＝3，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为________.
答案
解析 设点P(x0，y0)，由抛物线定义得x0－(－1)＝3，
所以x0＝2.
又因为y＝4x0，得y0＝±2，即P(2，±2).
又因为双曲线C2的渐近线过P点，所以＝＝，
故e＝＝＝.
方法二 特值、特例法
当题目已知条件中含有某些不确定的量，可将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊情形(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，可以多取几个特例.
5.(2018·茂名市五大联盟学校联考)函数y＝xsin x＋的部分图象大致为( )
答案 A
解析 函数y＝xsin x＋是偶函数，其图象关于y轴对称，选项C，D错误；
令x＝1可得y＝sin 1＋1>0，选项B错误.故选A.
6.已知函数f(x)＝ln x－ax2＋1，若存在实数x1，x2∈[1，＋∞)，且x1－x2≥1，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当a＝0时，f(x)＝ln x＋1，
若f(x1)＝f(x2)，
则x1＝x2，显然不成立，排除C，D；
取x1＝2，x2＝1，
由f(x1)＝f(x2)，得－a＋1＝ln 2－4a＋1，
得a＝，排除A，故选B.
7.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A.3∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.∶1
答案 B
解析 将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ，
则有VP－ABC＝.
剩余部分的体积为，所以截后两部分的体积比为2∶1.
8.设坐标原点为O，抛物线y2＝2x，过焦点的直线l交该抛物线于A，B两点，则·＝________.
答案 －
解析 本题隐含条件是·的值为定值，所以·的值与直线l的倾斜角无关，所以取直线l：x＝，
不妨令A点在x轴上方.
由可得A，B，于是·＝－1＝－.
方法三 数形结合法
有些题目条件中的式子或关系具有明显的几何意义，我们可以作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的性质、特征，得出结论.
9.设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 直线y＝kx＋k(k>0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝kx＋k(k>0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以≤k<.
10.设s，t是不相等的两个正数，且s＋sln t＝t＋tln s，则s＋t－st的取值范围为( )
A.(－∞，1) B.(－∞，0)
C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
答案 D
解析 由已知s＋sln t＝t＋tln s，可得＝.
设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数.如图，作出函数f(x)的图象，由题意知f(s)＝f(t)，所以s，t为方程f(x)＝m的两个不同的解.不妨设s>t，则0
11.(2018·四川省广元市适应性统考)已知函数f(x)＝方程f(x)－a＝0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D，若函数F(x)＝f(x)－kx(x∈D)有零点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 作出函数f(x)＝的图象如图，
由图可知D＝{x|2
即方程f(x)＝kx有根，即y＝kx图象与y＝f(x)图象在(2，4]上有交点，
则k的最小值为，
设过原点的直线与y＝log2x的切点为(x0，log2x0)，
由y′＝，得k＝，
则切线方程为y－log2x0＝(x－x0)，
把(0，0)代入，可得－log2x0＝－，即x0＝e，
∴切线斜率为，即为k的最大值，
∴k的取值范围是，故选B.
12.已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围为____________.
答案 (0，1)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有四个互不相等的实根x1，x2，x3，x4，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有四个不同的交点，则0
方法四 构造模型法
构造模型法是由题目的条件和结论的特殊性构造出几何体、函数、向量等数学模型，然后在模型中进行推导与运算，达到快速解题的目的. 构造模型法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，细致观察题目中数学结构、形式上的特点，通过分析、联想、类比接触过的数学模型，寻找灵感构造具体的数学模型.
13.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为( )
A.7π B.14π C. D.
答案 B
解析 三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以可把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.长方体的体对角线长是＝，所以它的外接球半径是，外接球的表面积是4π×2＝14π.
14.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )
A. 里 B.1 050里 C. 里 D.2 100里
答案 C
解析 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{an}，其中首项为a1，公比q＝，S7＝700， 则700＝，解得a1＝，
那么S14＝＝.
15.已知f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，若2f(x)－f′(x)<2，f(0)＝2 018，则不等式f(x)>2 017e2x＋1(其中e为自然对数的底数)的解集为______________.
答案 (0，＋∞)
解析 构造函数F(x)＝，则F′(x)＝＝>0，
故函数F(x)＝在R上为增函数，又因为F(0)＝＝2 018－1＝2 017，
因此不等式F(x)>2 017的解集为(0，＋∞).
16.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积为________.
答案 π
解析 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.
∴CD＝＝2R，因此R＝，
故球O的体积V＝＝π.
1.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45则a，b，c的大小关系为( )
A.a
解析 因为a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，显然a<1，b<1，c>1，所以c的值最大，故排除A，D选项.又因为0
答案 A
解析 首先注意到函数y＝2|x|－x2(x∈R)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，因此排除B和D，又当x＝0时，y＝20－02＝1>0，故排除C，故选A.
3.某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应填( )
A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?
答案 A
解析 程序在运行过程中各变量值变化如下：
k S 是否继续循环
循环前 1 1 /
第一圈 2 4 是
第二圈 3 11 是
第三圈 4 26 是
第四圈 5 57 否
故退出循环的条件应为k>4？，故选A.
4.已知函数f(x)＝若关于x的函数y＝[f(x)]2－bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C. D.
答案 D
解析 ∵函数f(x)＝
作出f(x)的简图，如图所示，
由图象可得当f(x)在(0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f(x)的值对应.
再结合题中函数y＝[f(x)]2－bf(x)＋1有8个不同的零点，
可得关于k的方程k2－bk＋1＝0有两个不同的实数根k1，k2，且0
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程f(x)＋g(x)＝－＋k(x－3)＋4＝0，即方程＝k(x－3)＋4有两个不同的解，等价于y1＝，y2＝k(x－3)＋4的图象有两个交点，
如图所示，当y2＝k(x－3)＋4过点(－3，0)时，k有最大值，此时k＝＝.当直线y2＝k(x－3)＋4与曲线y1＝相切时，恰有一个交点，此时满足＝3，所以k＝.综上，k的取值范围为，故选D.
6.在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A.2π B.4π C.6π D.8π
答案 C
解析 如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加得a2＋b2＋c2＝6，因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，所以4R2＝a2＋b2＋c2＝6，所以外接球表面积S＝4πR2＝6π.
7.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝____.
答案 18
解析 把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则·＝18.
8.若锐角α，β，γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为_____.
答案 2
解析 如图，构造长方体ABCD—A1B1C1D1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，∠C1AB＝α，∠C1AD＝β，∠C1AA1＝γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
从而有tan αtan βtan γ＝··≥＝2.
当且仅当a＝b＝c时，tan αtan βtan γ取最小值2.
9.，，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________.
答案 <<
解析 由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，
于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝′＝＝，
令f′(x)>0，得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
所以f(4)
10.在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________.
答案 an＝2n－1
解析 由an＋1＝2an＋1，
得an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，
∴数列{an＋1}是首项为2，
公比q＝2的等比数列，
因此an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.
11.若动直线x＝a(a∈R)与函数f(x)＝sin与g(x)＝cos的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为________.
答案 2
解析 实际上|MN|＝|f(x)－g(x)|，因此我们只要求|f(x)－g(x)|的最大值，令h(x)＝|f(x)－g(x)|＝＝|2sin x|，其最大值为2.
12.已知a，b，c，d∈R且满足＝＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为_____.
答案 ln2
解析 设点P(a，b)，Q(c，d)，由题设可得点P，Q分别在曲线y＝x＋3ln x，y＝2x＋3上.
则问题转化为求曲线y＝x＋3ln x上的动点P与直线y＝2x＋3上的动点Q之间的距离的最小值的平方问题.
设点M(t，t＋3ln t)是曲线y＝x＋3ln x的切点，因为y′＝1＋，故在点M处的切线的斜率k＝1＋，由题意知当1＋＝2，即t＝3时，也即当切线与已知直线y＝2x＋3平行时，此时切点M(3，3＋3ln 3)到已知直线y＝2x＋3的距离最近，最近距离为＝，也即(a－c)2＋(b－d)2的最小值为＝ln2.
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