2019届二轮复习任意角的三角比学案（全国通用）










角的概念的推广

任意角的三角比
弧度制与扇形公式

任意角的三角比





一、角的概念的推广
（一）知识精讲
（1）正角、负角、零角：
正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；
负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角；
零角：当一条射线没有旋转时，叫做零角．
注：用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围．
（2）象限角和轴线角：
在直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与轴的非负半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，当角的终边与坐标轴重合，就认为这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角．
（3）终边相同的角：
具有共同的始边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.
注：①终边在轴的正半轴上的角的集合为；
②终边在轴的负半轴上的角的集合为；
③终边在轴上的角的集合为；
④终边在轴上的角的集合为；
⑤终边在坐标轴上的角的集合为；
⑥第二象限角的集合为．

（二）典型例题
【例1】求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度：（1）15分钟；（2）1小时20分钟．
【难度】★★
【答案】，
【解析】（1）分针所转过的角度；
（2） 分针所转过的角度.

【例2】分别写出下列角的集合：
（1）第一象限的角；（2）第四象限的角；
（3）终边在上半平面（不含轴）的角；
（4）终边在左半平面（不含轴）的角；
（5）终边在第二象限或第四象限的角．
【难度】★
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
或.
【解析】第（2）题角的集合也可以写成.
第（5）题角的集合也可以写成.

【例3】找出与下列各角终边相同的角的一般形式，指出它们是哪个象限的角，并找出终边相同的角中绝对值最小的角：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【答案】（1）∵，∴终边相同的角为.
它们是第四象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
（2）∵∴终边相同的角为.
它们是第一象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
（3）∵，∴终边相同的角是.
它们是第二象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
【解析】判断一个角是第几象限角，常把它写成的形式，其中.有时也可以写成的形式，其中.

【例4】已知是第二象限角，判断下列各角是第几象限角：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）∵是第二象限角，∴.
.
∴角是第三象限角，或是第四象限角，或是终边在轴非正半轴上的轴线角.
（2）由（1）得，.
当，，
∴是第一象限角.
当，
，
∴是第二象限角.
当，，
∴是第四象限角.

【例5】下列命题正确的是： （ ）
（A）终边相同的角一定相等。 （B）第一象限的角都是锐角。
（C）锐角都是第一象限的角。 （D）小于的角都是锐角。
【难度】★
【答案】C

【例6】设 ，
，　　　　　
，则相等的角集合为_ _．
【难度】★
【答案】B＝D，C＝E


【例7】使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，则角与角（）的终边的关系是 （ ）
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点成中心对称 （D）随α变化有不同的对称性
【难度】★
【答案】C


【巩固训练】
1．求下列各角的集合：
（1）终边在轴的非正半轴上；
（2）终边在轴上；
（3）终边在坐标轴上；
（4）终边在第二象限的角平线上．
【难度】★
【答案】（1）；
（2）;
（3）；
（4）.


2．写出下列终边位置特殊关系的角：
（1）终边与角的终边互为反向延长线的角的集合；
（2）终边与角的终边关于x轴对称的角的集合是；
（3）终边与角的终边关于y轴对称的角的集合是；
（4）终边与角的终边互相垂直的角的集合是．
【难度】★★
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）

3．在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
【难度】★★
【答案】C

4．若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角
【难度】★★
【答案】B

5．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
【难度】★★
【答案】B

6．下列命题中的真命题是 （ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大
D．=
【难度】★★
【答案】D






二、弧度制
（一）知识精讲
（1）角度制与弧度制.
用一个周角的（度的角）作为度量单位来度量角的制度叫角度制.
把长度等于半径长的弧所对圆心角叫弧度的角，以弧度的角作为度量单位来度量角的制度叫弧度制.
弧度制的定义：


对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧，截得两弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所
取弧的半径无关.所以。这样规定1弧度的角是合理的。
（2）建立了弧度制后，每一个角都对应于唯一一个实数（这个角的弧度数），
反之每一个实数也对应于唯一一个角（即弧度数等于这个实数的角），因此在实数
集合与角的集合之间建立起一种一一对应的关系.
（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.
由，.
由，.
（4）应熟记一些特殊角的度数和弧度数.
角度数










弧度数











（5） 象限角的表示：
第一象限的角的集合：；
第二象限的角的集合：
第三象限的角的集合：
第四象限的角的集合：
注：在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制，如：“”和“”的写法都是不妥当的.
（6）弧长公式和扇形面积公式.
由定义，在弧度制中，半径为，弧度数为的弧长.
在角度制中，半径为、圆心角为的弧长.
在弧度制中，半径为，弧度数为的扇形面积.
在角度制中，半径为，圆心角为的扇形面积.
（二）典型例题
1、角度值与弧度制的互化
【例8】把角化为弧度。
【难度】★
【答案】.

【例9】把角化为角度。
【难度】★
【答案】。

【例10】 指出下列各角所在的象限：
（1）； （2）.
【难度】★★
【答案】三，一
【解析】 解：（1）=2π+.
∵π<，∴是第三象限角.
（2）.∵，∴是第一象限角.

【例11】在内与终边重合的角是___________。
【难度】★
【答案】

【例12】设，且的终边与角的终边相同，则＝____。
【难度】★★
【答案】　提示: 与角终边相同的角的集合是

【例13】若两个角的和是1弧度，此两角的差是，试求这两个角。
【难度】★★
【答案】设这两个角为弧度，则 解得，


2、之间的区别
【例14】如果α与角具有同一条终边，角β与角具有同一条终边，那么α与β之间的关系是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
【难度】★★
【答案】D

【例15】，之间的关系 。
【难度】★★
【答案】

【例16】若，那么（ ）
（A）MN=M （B）MN=φ （C）M=N （D）MN=N
【难度】★★
【答案】B


3、扇形弧长公式与面积公式
【例17】圆心角为弧度，半径为6的扇形面积是 。
【难度】★★
【答案】12π

【例18】知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B． C． D．
【难度】★
【答案】B

【例19】已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？
【难度】★★
【答案】设扇形半径为，扇形弧长为，扇形的圆心角为，则.
扇形面积
∴当时，扇形面积最大，最大值为625.

【例20】圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________．
【难度】★
【答案

【例21】在扇形中，，弧长为，则此扇形内切圆的面积是___________．
【难度】★★
【答案】


【巩固训练】
1.与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是___________，合___________弧度。
【难度】★
【答案】；

2． 已知（），且，问是第几象限角？
【难度】★★
【答案】解 .
当，
∴ 是第二象限角.
当 ，
∵ ∴ 是第四象限角.
∴ 是第二象限角或是第四象限角.

3．设集合M={α|α=，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π，则M∩N等于（ ）
A．{－} B．{－}
C．{－} D．{ }
【难度】★
【答案】C

4．的终边与的终边关于直线对称，则＝____________．
【难度】★
【答案】

5．设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+(－1)k，k∈Z}那么下列结论中正确的是（ ）
A．M=N B．MN C．NM D．MN且NM
【难度】★
【答案】C

6．如图，质点M从圆周上点A的位置开始，依逆时针方向作匀速圆周运动，已知质点M一分钟转过θ角（0≤θ≤π），2分钟到达第三象限，14分钟到达原来的位置，求θ．









【难度】★★
【答案】由题意：


7．个扇形的面积是,它的周长是,则圆心角为 弧度；弧长为 cm．
【难度】★★
【答案】2,2
【解析】假设圆心角为，弧长为，则半径。则由题意，得
故 扇形的圆心角为2弧度，弧长为2厘米


8．一钟表的分针长10 cm，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）
A．70 cm B． cm C．()cm D． cm
【难度】★★
【答案】D


9．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是：（ ）
A．（） cm2 B．（ ）cm2
C．（）cm2 D．（） cm2
【难度】★
【答案】C


三、任意角的三角比
（一）知识精讲
（1）把锐角置于平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.
在角的终边上任取一点P（x，y）（除原点外），则P与原点的距
过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y
由初中的锐角三角比定义 :

用同样的方法定义任意角的三角比 :
在角的终边上任取一点P（x，y）（除原点外），则P与原点的距离






注： 三角比在各象限的符号，如下图（一全二正弦，三切四余弦）



， ， ，
注：特殊角的三角函数值表：

弧度
函数 函数值
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°

















































（2）单位圆与三角函数线
(1)正弦线：
无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有=y=sinα．
我们把有向线段叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．
(2)余弦线： 有向线段叫做α的余弦线。
(3)正切线：过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段叫做角α的正切线。
单位圆r=1



注：三角函数线是三角比值得几何形式，要重点掌握，应用三角函数线可以得到下列结论：
(1) sin2 + cos2 = 1；
(2)│sin│ + │cos │≥1；
(3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R；
(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数；
(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小；
(6) 当角的终边在直线的右下方时, sin＜cos ;当角的终边在直线的左上方时, sin＞cos 。

（3）终边相同角的三角函数值
公式一：

注：这组公式可将任意角的三角比化为
（二）典型例题
1、由三角比定义求值
【例22】已知角的终边经过点，求的六个三角函数值．
【难度】★★
【答案】



【例23】已知角的终边上有一点，求的各三角函数值．
【难度】★
【答案】由已知，，.
∵，∴.
∴，，，
，，.

【例24】= ．
【难度】★★
【答案】

【例25】已知角终边上一点，且，则 ．
【难度】★★
【答案】


2、三角比的符号
【例26】 已知，，判断的符号．
【难度】★★
【答案】∵，，
∴是第二象限角，.
∴.
当，，
是第一象限角，.
当，，
是第三象限角，.
∴必为正数.

【例27】如果在第二象限，那么的值是什么符号？
【难度】★★
【答案】∵在第二象限，∴，
　　∴，∴ .

【例28】已知集合，用列举法表示A= 。
【难度】★★
【答案】

【例29】根据任意角的三角比的定义证明．
【难度】★★
【答案】依三角比的定义，有


【例30】若θ为锐角，则的值为 ．
【难度】★★
【答案】

【例31】用三角函数线解下列不等式：
（1） （2） （3）
【难度】★★
【答案】（1）
（2）
（3）

【例32】求下列函数的定义域：
（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.
【难度】★
【答案】（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈（k∈Z）.
（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-＜sinx＜.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),
∴x（k-,k+）（kZ).

【例33】若，且有，则的取值范围是__________________.
【难度】★★
【答案】

【例34】 若，利用三角函数线证明：
（1）；
（2）.
【难度】★★★
【答案】
（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦
线和余弦线.
由，为直角三角形，且，
，.
在中，
，∴.
（2）如图，，分别为角的正弦线和正切线.连结.
由，显然有.
，
，
，
∴. .


【巩固训练】
1．如果角θ的终边经过，那么下列各式中不存在的是 （ ）
（A）sinθ （B）cosθ （C）tanθ （D）catθ
【难度】★
【答案】C

2． 已知角的终边经过点，求的值．
【难度】★
【答案】若，，，点在第四象限.
.
,.
∴.
若，，，点在第二象限.
.
，.
∴.
【解析】 因的符号不确定，所以要对字母进行讨论.当，点在第四象限，当，点在第二象限.
3．已知，则________．
【难度】★
【答案】 —2

4．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ．
【难度】★
【答案】

5．已知点在角的终边上，且，则＝ ．
【难度】★
【答案】

6．的 （ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【难度】★
【答案】A

7．若的值是 （ ）
（A）1 （B）－1 （C）3 （D）－3
【难度】★★
【答案】C

8．若α为第三象限的角，且满足，则是 （ ）
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
【难度】★★
【答案】D

9．设．（用区间形式表示，并在数轴上标出集合）
【难度】★★
【答案】
x






10.已知，化简．
【难度】★★
【答案】

11．如果MP和OM分别是的正弦线和余弦线，那么( )
(A) (B)
(C) (D)
【难度】★★
【答案】D

12．下列命题中正确的是 （ ）
（A）存在一个角α，使
（B）存在一个角α，使
（C）存在一个锐角α，使
（D）存在一个角α，使
【难度】★★
【答案】D

13.如果是第一象限角，那么①,②,③,④中恒成立的有_____个．
【难度】★★
【答案】1　提示:利用三角函数线知②总成立.

14.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．
⑴ sinx ≥；⑵ cosx ≤ ；⑶ tanx≥－1 ；（4）且．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）。

15．若，利用三角函数线证明：，且．
【难度】★★★
【答案】 在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线.
在中，
∵，，
∴，∴，即.
在中，
∵，，
∴，，即.


【解析】



1、角的概念的推广
（1）用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）终边相同的角.
具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.
2、弧度制
（1） 弧度制的定义：
（2）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.
由，.
由，.
（3）弧长公式和扇形面积公式.
弧长. 扇形面积.
3、 三角比定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .
4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

5、单位圆与三角函数线及几个重要结论
单位圆r=1











1．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】B

2．下列两组角的终边不相同的是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D

3．当角与的终边互为反问延长线，则角与的关系一定是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】C

4．一个圆心角为的扇形，它的弧长是，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于 （ ）
A．2 B．4
C． D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】设扇形内切圆的半径为，则由图可见扇形半径为
.由弧长公式，扇形弧长


5．若角的终边与射线重合，则______________．
【难度】★
【答案】

6．若为的内角，且，则是_________三角形．（填
“锐角”、“直角”或“钝角”）
【难度】★
【答案】锐角
7．用单位圆及正弦线，可以得到满足不等式在上的的集合为____________．
【难度】★★
【答案】
【解析】如图可得所求集合为


8．确定下列三角比值符号：
（1） ；（2）；（3）
【难度】★
【答案】（1）负；（2）负；（3）负.


9．求值：
（1）；
（2）.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式

（2）原式



10.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.
【难度】★
【答案】A

11.已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值．
【难度】★
【答案】由题意，得
故角是第二或第三象限角．
当，点P的坐标为，

当，点P的坐标为，


12.扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB．
【难度】★
【答案】设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为α
则有 ∴
由|α|＝得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )

13．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于(　　)
A．5 B．2 C．3 D．4
【难度】★
【答案】B

14. 如图，已知单位圆O与y轴相交于A、B两点．角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在射线OC上．过点A作直线AC垂直于y轴且与角θ的终边交于点C，则有向线段AC的函数值是(　　)

A．sinθ B．cosθ C．tanθ D．cotθ
【难度】★
【答案】D

15．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线
(1) (2)
【难度】★★
【答案】如图，正弦线、余弦线、正切线分别为．