2019届二轮复习数列、不等式学案（全国通用）

4.数列、不等式

1．等差数列的有关概念及运算

(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．

(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.

(3)等差数列的前n项和：Sn＝，Sn＝na1＋d.

 [回扣问题1]　等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)

A．8   B．10   C．12   D．14

答案　C

2．等差数列的性质

(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数且常数项为0.

(2)若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．

(3)当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．

[回扣问题2]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．6   B．7   C．8   D．9

答案　A

3．等比数列的有关概念及运算

(1)等比数列的判断方法：定义法＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．

(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.

(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A＞B.

[回扣问题3]　等比数列{an}中，a3＝9，前三项和S3＝27，则公比q的值为________．

答案　1或－

4．等比数列的性质

(1)若{an}，{bn}都是等比数列，则{anbn}也是等比数列．

(2)若数列{an}为等比数列，则数列{an}可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．

(3)等比数列中，当m＋n＝p＋q时，aman＝apaq.

[回扣问题4]　等比数列{an}的各项均为正数，且a4a5a6＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝(　　)

A．9   B．6   C．4   D．3

答案　A

5．数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加．关键找通项结构．

(1)分组法求数列的和：如an＝2n＋3n；(2)错位相减法求和：如an＝(2n－1)2n；(3)裂项法求和：如求1＋＋＋…＋；(4)倒序相加法求和．

[回扣问题5]　若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为(　　)

A．2n＋n2－1    B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2    D．2n＋n2－2

答案　C

6．求数列通项常见方法

(1)已知数列的前n项和Sn，求通项an，可利用公式an＝由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．

(2)形如an＋1＝an＋f(n)可采用累加求和法，例如{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n，求an；

(3)形如an＋1＝can＋d可采用构造法，例如a1＝1，an＝3an－1＋2，求an.

(4)归纳法，例如已知数列{an}的前n项和为Sn，且S－(an＋2)S n＋1＝0，求Sn，an.

[回扣问题6]　设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝

7．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负或是否为零．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．

[回扣问题7]　若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A.＞    B.＜ 

C.＞    D.＜

答案　B

8．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．

[回扣问题8]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2，或x＞－}，则ax2－bx＋c＞0的解集为________．

答案　

9．基本不等式：≥(a，b＞0)，当且仅当a＝b时，“＝”成立．

(1)推广：≥≥≥(a，b∈R＋)．

(2)用法：已知x，y都是正数，则

①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；

②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.

利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．

[回扣问题9]　(1)已知x＞1，则x＋的最小值为________．

(2)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，且＋的最小值是________．

答案　(1)5　(2)7＋4

10．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负．

[回扣问题10]　若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)

A．5   B．6   C．7   D．8

答案　B