2019届二轮复习数列的概念与表示法学案（全国通用）

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数热点题型一    由数列的前几项归纳数列的通项公式例1、（2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解析】【变式探究】【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.【答案】【变式探究】根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)，，，，，…；(3)，2，，8，，…；(4)5,55,555,5 555，…。【解析】(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)。(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项【提分秘籍】用观察法求数列的通项公式的方法(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体—再局部—再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列((－1)n或(－1)n＋1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；      (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。 【举一反三】 下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　)A．an＝1           B．an＝C．an＝2－   D．an＝【答案】C【解析】由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…。热点题型二   由an与Sn的关系求通项an 例2、已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an。(1)Sn＝2n2＋3n。(2)Sn＝3n＋1。【解析】(1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，      当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1) ＝4n＋1。当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，所以an＝4n＋1。(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1。当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝【提分秘籍】 已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1。(2)用n－1替换Sn中n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式。(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写。【举一反三】 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为__________。【答案】an＝热点题型三     由递推关系式求通项公式例3．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式。(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an。【解析】(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，    .  ∴＝3，【提分秘籍】由递推关系式求通项公式的类型与方法①已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。②当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解。     【举一反三】 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)A．2＋ln n   B．2＋(n－1)ln nC．2＋nln n  D．1＋n＋ln n(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝__________。【答案】(1) A (2) 2。【解析】(1)由已知，an＋1－an＝ln，a1＝2，所以an－an－1＝ln(n≥2)，an－1－an－2＝ln，…a2－a1＝ln，将以上n－1个式子叠加，得an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln＝ln n。所以an＝2＋ln n(n≥2)，经检验n＝1时也适合。故选A。    .  (2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2。热点题型四   数列的性质及其应用 例4、 (1)已知an＝，那么数列{an}是(　　)A．递减数列  B．递增数列C．常数列    D．摆动数列(2) 数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为________。【答案】(1)B  (2) －1＝，…，所以该数列的周期T＝4。而2 015＝4×503＋3，所以a2 015＝a3＝。【提分秘籍】1．解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列。(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断。(3)结合相应函数的图象直观判断。2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。【举一反三】 设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tr，则T2 014的值为(　　)A．－  B．－1    C.  D．－2【答案】D 1. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解析】2. （2018年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为     A.      B. C.     D. 【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D。1.【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.【答案】【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由 可得： ，代入①可得，由等比数列的通项公式可得： .1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N )满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.2．（2014·新课标全国卷Ⅰ  已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．3．（2014·新课标全国卷Ⅱ  已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋＜.      【解析】(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此数列{an}的通项公4．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N )．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N 成立？证明你的结论．【解析】(1)方法一：a2＝2，a3＝＋1.再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N )．   方法二：a2＝2，a3＝＋1.可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.因此猜想an＝＋1.下面用数归纳法证明上式．当n＝1时，结论显然成立．假设n＝ 时结论成立，即a ＝＋1，则a ＋1＝＋1＝＋1＝＋1，这就是说，当n＝ ＋1时结论成立．所以an＝＋1(n∈N )．(2)方法一：设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．令c＝f (c)，即c＝－1，解得c＝.综上，存在 c＝使a2n<C<a2a＋1对所有n∈N 成立．方法二：设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．先证：0≤an≤1(n∈N )．　　①当n＝1时，结论明显成立．假设n＝ 时结论成立，即0≤a ≤1.易知f(x)在(－∞，1 上为减函数，从而0＝f (1)≤f(a )≤f(0)＝－1<1.即0≤a ＋1≤1.这就是说，当n＝ ＋1时结论成立．故①成立．再证：a2n<a2n＋1(n∈N )．　②当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝－1，所以a2<a3，即n＝1时②成立．假设n＝ 时，结论成立，即a2 <a2 ＋1.5．（2013·安徽卷）如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．      【答案】an＝　【解析】令S△OA1B1＝m(m>0)，因为所有AnBn相互平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形A1B1B2A2＝3m，当n≥2时，＝＝＝，故a＝a，a＝a，a＝a，……a＝a以上各式累乘可得a＝(3n－2)a，因为a1＝1，所以an＝.6．（2013·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列的四个命题：p1：数列是递增数列；p2：数列是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列是递增数列．其中的真命题为(　　)A．p1，p2  B．p3，p4  C．p2，p3  D．p1，p4【答案】D　【解析】因为数列{an}中d>0，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.7．（2013·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．