2019届二轮复习数列教案（全国通用）


考点(一)　数列的通项公式　
【基本知识通关】
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
4．Sn与an的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．
5.由数列的前几项求通项公式的思路方法
(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
[提醒]　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．　
6.已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　

　7.典型的递推数列及处理方法
递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
叠加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
叠乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)
化为等比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
(A，B，C为常数)
化为等差数列
a1＝1，an＋1＝
8.数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．

【知识应用通关】
1.数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2 B．an＝(－1)nn2
C．an＝(－1)n＋1n2 D．an＝(－1)n(n＋1)2
【答案】C
【解析】法一：该数列中第n项的绝对值是n2，正负交替的符号是(－1)n＋1，故选C.
法二：将n＝2代入各选项，排除A，B，D，故选C. 学
2.把1,3,6,10,15，…，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第7个三角形数是(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
【答案】B

3.已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
【答案】（1）－2；(－1)n＋1·(2n－1)（2）
【解析】　(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，

4.(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）n2＋.（2）（3）2·3n－1－1（4）(n∈N )
【解析】(1)因为an＋1－an＝3n＋2，
所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式，
所以an＝n2＋.
(2)因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.
由累乘法可得an＝a1···…·＝＝(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.
(4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，

考点(二)　数列的性质　
【基本知识通关】
1.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项

2. (1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．
(2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去． 学
3．判断数列单调性的两种方法
(1)作差比较法
an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an0时
①>1⇔数列{an}是单调递增数列；
②0，解得n7.又因为n∈N ，所以n的最小值为8，故选B. 学 2
3.已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N )，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．
C．(2,3) D．(1,3)
【答案】C
【解析】因为{an}是递增数列，所以解得20，d1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)
A．38 B．20
C．10 D．9
【答案】C

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使Sn取得最小值时n的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质可得a4＋a7＋a10＝3a7＝9，得a7＝3.S14－S3＝11a9＝77，解得a9＝7，所以等差数列的通项公式为an＝2n－11.当n＝6时，an>0；当n＝5时，an0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝(　　)
A．31 B．36 学 ]
C．42 D．48
【答案】A

4．已知等比数列{an}的公比q>0，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝(　　)
A. B． | |k ]
C. D．2
【答案】B

考点(三)　等比数列的判定与证明　
【基本知识通关】
1.等比数列的四种常用判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N )或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N )，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N )，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N )，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
【知识应用通关】
1．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是(　　)
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
【答案】D
【解析】∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等比数列．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N )．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N )，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
【答案】（1）证明：n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1，又a1＝1≠0，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列． 学
（2）3×n－1－1.

第四节 数列的综合问题
考点(一)　数列求和　
【基本知识通关】
1．公式法与分组转化法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(2)分组转化法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．
2．倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的．
(2)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

【知识应用通关】
1.已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N .记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝(　　)
A.－1　　　 B．－1
C.－1 D．＋1
【答案】C

2.已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
【答案】C
【解析】由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.选C.
3.已知数列{an}，{bn}满足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N )，bn＝an－3n(n∈N )．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】（1）2n（2）2n＋1＋－
【解析】(1)∵an＝2an－1＋3n－1(n∈N ，n≥2)，∴an－3n＝2(an－1－3n－1)，∴bn＝2bn－1(n∈N ，n≥2)．∵b1＝a1－3＝2≠0，∴bn≠0(n≥2)，∴＝2，∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴bn＝2·2n－1＝2n.
(2)由(1)知an＝bn＋3n＝2n＋3n，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋32＋…＋3n)＝＋＝2n＋1＋－.
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）2n（2）2－ 学

考点(二)　数列的综合应用问题　
【基本知识通关】
1.等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点，主要有：(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质；(2)重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组))的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.
2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方式有：(1)以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的通项公式或前n项和；(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题.
3.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等.(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等.(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.
3.等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略
(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
[提醒]　在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合．　　
4.数列与函数问题的解题技巧
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．　　
5.数列与不等式相结合问题的处理方法
(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．
(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．
总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理．　　
【知识应用通关】
1.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由Sn＝2an－a1，知Sn－1＝2an－1－a1(n≥2)，两式相减得an＝2an－1(n≥2)，即数列{an}是以2为公比的等比数列．又a1，a2＋1，a3成等差数列，∴a1＋a3＝2(a2＋1)，∴a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.故选B.
2.已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．若p－q＝10，则ap－aq＝(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
【答案】B

3.已知数列{an}中，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值．
【答案】（1）2n－1（2）1或2
【解析】(1)根据已知a1＝1，an＋1＝an＋2，所以数列{an}是一个等差数列，an＝2n－1.
(2)数列{an}的前n项和Sn＝n2.等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，所以q＝3，bn＝3n－1.数列{bn}的前n项和Tn＝＝.Tn≤Sn即≤n2，又n∈N ，所以n＝1或2. 学
4.已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.
(1)当n∈N 时，求f(n)的表达式；
(2)设an＝n·f(n)，n∈N ，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an