2019届二轮复习数列递推学案（全国通用）

第七讲 递推数列一、知识方法拓展由递推公式求数列通项的常用方法类型1：方法：累加法(叠加法)，类型2：方法：累乘法(迭代法)，类型3：方法：待定系数法(构造法)，令，，从而构造一个公比为p的等比数列类型4：方法：一般地，将原式转化为，令，则，转化为类型3解决注：当时，我们还能用如下方法更简便地解题令，，从而构造一个等比数列类型5：方法：一般地，将原式转化为，令，则，转化为类型1解决注1：当的一次函数时，如我们还能用如下方法更简便地解题令，，从而构造一个等比数列注2：当的二次函数时，则可构造等比数列，依次类推类型6：方法：特征根法其特征方程为，1、   若方程有两相异根、，则2、若方程有两等根则   其中、可由初始条件确定。设，则,令   （*）（1）若方程组（*）有两组不同的解,则, ,由等比数列性质可得, ,由上两式消去可得.（2）若方程组（*）有两组相等的解，易证此时，则，,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以．类型7：方法：函数不动点法，方程的根称为该数列的不动点，若数列有两个相异的不动点t,s，则为等比数列，若数列只有一个不动点，则是等差数列。(1)若,由,,两式相除有,从而得,再解出即可.(2)若,由，，，从而得 二、热身练习1.(2012复旦)设，则数列的极限为（  ）A.    B.   C.  D.分析与解：一方面，我们可以用特征根法，，故而可得s,t均为有理数。再观察数列前三项及选项，可快速得到只有A选项符合题意。 2. (2007复旦)已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数n是（  ）A.6  B.7  C.8  D.9分析与解：由，采用待定系数法，设成等比数列，故进一步可得又，选B 3. (2006复旦)是正数列，其前项和为，满足：对一切，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（   ）A.0  B.4  C.12  D.100分析与解：由题意得，又，两式相减得，因为是正数列，所以，选B 三、真题精讲例1. (2011卓越)设数列满足（1）设，证明：若，则是等比数列（2）若，求的值分析与解：（1）根据提示化简原式得是公比为，首项为的等比数列（2）当时，易得为常值数列，，极限不存在，不合题意当时，由（1）知，用累加法可得由 例2. (2004复旦)已知数列，满足又，求：（1）（2）分析与解：（1）观察已知条件为，融合后的递推公式，考虑消元转化为只含有一个数列的递推公式再求解。由，代入得相邻三项型的递推数列，用特征根法求解又（2）由（1）易得 例3. (模拟题)斐波那契数列可以由递推公式：确定，求斐波那契数列的通项公式分析与解：典型的相邻三项型通项公式，用特征根法可以快速得到答案又例4. (2010武大)设为平面上的点列，其中数列，满足，已知的坐标为（1）确定点所在圆C的方程（2）证明：点列在定圆C上（3）求数列的通项公式分析与解：（1）直接代入得，用求中垂线交点法或代入圆的一般方程都可简单求得圆方程（2）考虑用数学归纳法来证明，由（1）知在圆C上，假设在圆C上，即得证（3）由（2）知用不动点法，由是公比为9的等比数列 例5. (模拟题)已知数列满足，求通项分析与解：分式型递推公式，考虑用不动点法解题由两式相除，得由已知易得，故，对式取对数，得是等比数列 四、重点总结熟练运用各种方法求数列的通项公式 五、强化训练A组1. (2008武大)在数列中，（1）求证：数列是等比数列（2）求数列的前n项和分析与解：（1）本题用待定系数法解较浪费时间，观察题目是个证明题，可以考虑从结论反推。根据提示直接写出等式，即可得证。（2）由（1）可知，用分组求和可求得2. (2003交大)数列满足：，求和分析与解：相邻三项型的递推公式，可以用特征根法来求通项由另解，可以观察，再等式两边同时加，可得故是常值数列，可得，用待定系数法可解得通项公式。 3. (2008复旦)是正数列，其前项和为，满足：对所有的正整数，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（   ）A.0  B.1  C.  D.分析与解：由题意得，又，两式相减得，因为是正数列，所以，观察所求式子中最高次为二次，所以只要找二次项的系数即可，，选C 4. (2009复旦)设数列，满足，如果，且是公比为2的等比数列，又设，则（   ）A.0  B.   C.1  D.2分析与解：由已知，，累加法可得易得所求极限为2，选D5. (2001交大)数列1,3,2,…中，，则_____________分析与解：形如的递推数列可由归纳法知其为周期为6的周期数列，故 6. (2004交大)已知数列满足，则___________分析与解：用特征根法，又 7. (模拟题)已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式分析与解：由已知，两式相减得因为各项均为正数，故由及易得 8. (2005交大)已知月利率为r，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于r的函数关系式（假设贷款时间为2年）分析与解：方法一，用数列的递推公式来求解。用数列表示第个月后的剩余本金，令，则有，用简单的待定系数法可得，由方法二，将每月还款看成对银行的存钱，利用到2年末存款总额因等于欠款总额来建立等式求解。第二年末存款总额：第二年末欠款总额：故 B组1. (2010浙大)如图，下有一系列正三角形，求第个正三角形的边长分析与解：此题关键是找到联系和抛物线的关系式由图，观察可得第个正三角形的上顶点坐标应为，它在抛物线图像上，故，用退位相减法，化简易得由已知易得 2. (2007交大)已知函数，对于，定义，若，则______________分析与解：由已知又 3. (模拟题)已知数列满足，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得的值最小分析与解：由原式得令，则用累加法可得，即显然，当时，，当时，，当时，又，当时，，故使得的值最小的n的值为40