2019届二轮复习三角恒等变换学案（江苏专用）

   2019届二轮复习  三角恒等变换   学案 （江苏专用）【三年高考】1.【2018江苏，理16】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2．【2017高考江苏】若则   ▲   ．【答案】【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型      （1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．3．【2016高考江苏】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是   ▲   .【答案】8【解析】，又，因此即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．  【2019年高考命题预测】纵观2018各地高考试题，三角函数的化简、求值及最值问题，是每年高考必考的知识点之一，大题往往结合三角函数图像与性质. 三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，高考命题考查的重点是诱导公式公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式．预测在2019年的高考试卷中，三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，主要考查"三基"(基础知识、基本技能、基本思想和方法)以及综合能力，难度多为容易题和中档题.故在2019年复习备考过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识. 【2019年高考考点定位】+ + ]高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式进行求值、变形，求参数的值,求值域，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等．【考点1】利用诱导公式恒等变换【备考知识梳理】诱导公式一：，，其中诱导公式二： ；  诱导公式三： ；     诱导公式四：； 诱导公式五：； 公式六：，.公式七：，公式八：，.公式九：，诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算.【规律方法技巧】1. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：    ]ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解.常见的互余与互补关系(1)常见的互余关系有：与；与；与等. (2)常见的互补关系有：  与;与等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题.  2. 利用诱导公式化简、证明i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.ii.证明三角恒等式的主要思路    ](1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.   ](3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有的整数倍的三角函数式中可直接将的整数倍去掉后再进行运算，如.【考点针对训练】1.角β的终边和角α=-1035°的终边相同，则cosβ=          .【答案】2.若，则的值是      ．【答案】.      【解析】.【考点2】利用同角三角函数关系式恒等变换【备考知识梳理】同角三角函数的基本关系式：（1），（2） ．【规律方法技巧】1. 正、余弦三兄妹“、”的应用与通过平方关系联系到一起，即，因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.的求值技巧：当已知，时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有或，这两个公式中的其中一个平方后即可求出，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出的值．或者把、与联立，通过解方程组的方法也可以求出的值．2.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:① 的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解；②的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形． （2）切化弦：利用公式，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.【考点针对训练】1.已知，，则            ．【答案】2.已知，且，则                .【答案】【解析】根据题意，由诱导公式解得：，又因为：且，解得：，所以：.【考点3】利用和、差、倍、半、和积互化公式恒等变换【备考知识梳理】1．两角和与差的三角函数；；.2．二倍角公式；；.3．降幂公式；，.4.辅助角公式，.5.有关公式的逆用、变形等   ]；，,,,  ,,【规律方法技巧】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.(3)公式变形使用：如,,,,等 (4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:；，.(5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：等.（7）辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定，的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.如等.2.题型与方法:题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如，  ， 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝＋等题型二，三角函数式的化简与证明      三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明.题型三. 辅助角公式函数(为常数)，可以化为或，其中可由的值唯一确定．【考点针对训练】1.若、均为锐角，且，，则            ． 【答案】2.若，，，则                 .    ]【答案】【解析】因为，，所以，且；又因为，且，所以，且．又因为，所以  ．  【两年模拟详解析】1．【江苏省盐城中2018届高三全仿真模拟检测数试题】在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】(1)；(2). .点睛：三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．      2．【江苏省盐城中2018届高三考前热身2数试卷】已知向量，且共线，其中.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】(1)-3.(2) .点睛：本题考查的知识要点有向量的坐标运算，向量共线的充要条件，三角函数关系式的恒等变换利用已知条件求出函数的值．属于基础题型. 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．常用的3切互化公式有： sin2θ+cos2θ=1．常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.3．【江苏省扬州树人校2018届高三模拟考试（四）数试题】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求；（2）求的值．【答案】(1) .(2) .在中，由正弦定理得，即，∴，又，故，∴，∴．点睛：（1）解三角形时要根据条件选择使用正弦定理还是余弦定理，求解过程中要注意三角形中有关知识的合理运用，如三角形内角和定理，三角形中的边角关系等．（2）解三角形经常和三角变换结合在一起考查，根据变换求值时要注意三角函数值的符号，再合理利用公式求解．4．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数试题】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.      点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．5．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018年度高三教情况调研（二）数试题】在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1) .(2) .点睛：本题在求 的值域时，容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.6．【江苏省无锡市2018届高三第一期期末检测数试卷】在中，角的对边分别为，，.（1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）.（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出即可求出 . （2）根据正弦定理结合，即可求出 的值，再利用余弦定理，求出 的值.        7．【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数（文理）试题】在平面直角坐标系中，设向量， ， ．（1）若，求的值；（2）设， ，且，求的值．【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由向量， ， 得，再根据，即可得的值；（2）由，得，再根据 ，可得，从而可求得的值．∴．∵∴．∴，即．8．【2018年5月2018届高三第三次全国大联考（江苏卷）-数】设向量,,记．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的值域．【答案】(1)()．(2).   . 9．【江苏省如皋市2017--2018年度高三年级第一期教质量调研（三）数（理）试题】在中， .(1) 求角的大小；(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由，两边平方，整理可得，即，从而可得；（2）在直角与直角中中， ， ，从而可得，根据三角函数的有界性可得面积的最小值.试题解析：（1）由，两边平方，10．【江苏省兴化市楚水实验校、黄桥中、口岸中三校2018届高三12月联考数试题】已知向量 ， ， ，若，（1）求的值；（2）若，求角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，可得， 从而得，进而可得 ；（2）由且，可得，可，根据，利用两角差的正弦公式可得结果．.试题解析：（1）， ， ，（显然，否则与矛盾．）   【一年原创真预测】1.设，若无论为何值，函数的图象总是一条直线，则的值是             .【答案】2【解析】要使函数表示一条直线，只有是水平直线，所以 ，此时函数表示一条直线，所以      【入选理由】本题考查同角三角函数基本关系式，直线方程的形式.原函数是三角函数，要想让它变成直线，只能让消失，所以将它们化简成常数即可.意在考查生的转化与化归的能力．本题难度适中，故选此题.2.已知函数,.(1)求的最大值和取得最大值时的集合.(2)设，，，，求的值．【入选理由】本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数公式等基础知识,三角函数最值等，意在考查生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题考查内容重点突出，综合性较强,难度不大，故选此题.3.已知（Ⅰ）求函数的单调递增区间;  （Ⅱ）设，且，求．【入选理由】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性、同角三角函数关系、以及两角和的正切公式等基础知识，意在考查生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题立意简单,难度不大, 故选此题.