2019届二轮复习数列求和，极限和数学归纳法学案（全国通用）
展开第八讲 数列求和，极限和数学归纳法
一、知识方法拓展
1.常见的幂和公式
(1)
(2)
(3)
注：的一个推导方法：利用组合数的性质，如，=等
2.数学归纳法的几种形式
(1)第一数学归纳法：如果①当n取第一个值时，命题成立；②假设当时命题成立，由此推得时命题也成立，那么对于一切正整数都成立。
(2) 第二数学归纳法：如果①当时，命题成立；②假设当时命题成立，由此推得时命题也成立，那么对于一切正整数都成立。
(3) 跳跃数学归纳法：如果①当时，命题成立；②假设当时命题成立，由此推得时命题也成立，那么对于一切正整数都成立。
(4) 反向数学归纳法：如果①对无穷多个，命题成立；②假设当时命题成立，由此推得时命题也成立，那么对于一切正整数都成立。
3.分式型数列极限的运算规则
(1)
(2)假设
4.常见极限
(1)
(2)
(3)
(4)
(5),,
二、热身练习
1.(2011复旦)设有4个数的数列为，前3个数构成一个等比数列，其和为，后3个数构成一个等差数列。其和为9，且公差非零，对于任意固定的，若满足条件的数列的个数大于1，则应满足（ ）
A.12>27 B.12<27 C.12=27 D.其他条件
分析与解：由已知易得，设，则，由
因为满足条件的数列个数大于1，选A
2. (2000交大)若一项数为偶数的等比数列的中间两项正好是方程的两个根，则此数列各项的积是（ ）
A. B. C. D.
分析与解：类比等差数列的各项和公式，得等比数列各项积，选C
3. (2003复旦)__________________
分析与解：比较底数绝对值最大项，得
演变：_________________
分析与解：比较底数绝对值最大项，可忽略，
三、真题精讲
例1. (2012华约)已知，其前项和为，求
分析与解：
例2. (2001复旦)设数列满足，其前项乘积，其中是大于1的常数
(1)求证：是等比数列
(2)求中所有不同两项的乘积之和
分析与解：(1)由已知，
，即是等比数列
(2) 中所有不同两项的乘积之和即
又
当即时，
当即时，
例3. (2010南开)求证：(1)
(2)
分析与解：观察题型，显然用数学归纳法解题
(1)当时，显然成立
假设当时，不等式成立，即
当时，
因为
得证
(2) 当时，显然成立
假设当时，不等式成立，即
当时，
因为
所以
得证
例4. (2008北大)数列定义如下：
(1)给定自然数，求使的的范围
(2)令，求
分析与解：(1)显然，使得的共有个
使得的共有个
故，即
(2)故
易得
例5. (2009交大)为等比数列，求的最大值
分析与解：
显然，当时，
当时，
又
易得，当时，，当时，
故中最大项必然是中的一项
易得，
故最大项为
例6. (2009华南理工)已知，设，
(1)证明：数列是等比数列
(2)求数列的通项
(3)设，证明：当时，有
分析与解：(1)针对数列的递推公式，可以根据特征根法求出的通项公式
但此方法较繁琐，观察题干，可以根据提示直接将原递推公式凑成等比数列的形式
由已知
故是以为公比的等比数列
(2)此题可以先求的通项公式，再利用待定系数法求的通项公式，但同样较繁琐
观察发现，
故猜测并用数学归纳法证明
当时，显然成立
假设当时成立，即
则当时，
得证
(3)观察到要证的式子中是相隔两项之间的关系，故肯定需要用第二数学归纳法来证明
由已知，是方程的两根
易得
当时，
当时，
故当时均成立
假设当时成立，
即，
则当时，
得证
四、重点总结
1.掌握常见的几种数学归纳法，能运用数学归纳法解题
2.掌握极限的基本判断法则及常见的几种极限
3.掌握常见的求和方法
五、强化训练
A组
1. (2001复旦)______________
分析与解：原式
2. (2005复旦)________________
分析与解：原式
3. (2007复旦)设，则（ ）
A.2 B. C. D.64
分析与解：原式，选A
4. (2008复旦)设是的展开式中项的系数，则极限（ ）
A.15 B.6 C.17 D.8
分析与解：
原式
5. (模拟题)试证明
分析与解：用数学归纳法证明：
当时，显然成立
假设当时，
则，当时，
得证
6. (2006交大)已知，则数列的前100项和为___________
分析与解：
7. (2003复旦)已知数列的前项和为，
，求
分析与解：由已知
8. (2005交大)_____________
分析与解：当为偶数时，原式
原式
当为奇数时，因为为偶数
原式
9. (2007交大)_____________
分析与解：原式=
10. (2002交大)A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次任由A掷；若A掷不到一点，下次换B掷。对B同样适用该规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为
(1)求和的关系
(2)求
分析与解：(1)由已知，易得
(2)由(1)设
又
B组
1．(2000复旦)设，其中为整数，求
分析与解：由二项式定理的性质可得
2. (2000复旦)____________
分析与解：原式
3. (模拟题)在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列。记，。求：
(1)求数列和的通项公式
(2)比较和的大小，并证明你的结论
分析与解：(1)由已知，，
(2)用数学归纳法，容易验证，当时，
当时，
假设，当时，，即
则，当时，
得证
4. (2008中科大)数列满足
(1)求和的关系
(2)若，证明
(3)若，证明
分析与解：(1)由已知，有
又
两式相减，得
又
(2)用数学归纳法
当时，显然成立
假设当时，
则当时，
得证
(3)先用数学归纳法证明当时，
当时，由,
假设当时，
则当时，
故
又
即
