2019届二轮复习空间几何体的表面积和体积学案（全国通用）

一、考纲要求：

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

二、概念掌握及解题上的注意点：

1.空间几何体表面积的求法

(1).以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.必须还原出直观图.

(2).多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(3).旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1).若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.

(2).若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

(3).若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的底面积和高，一般不需画直观图.

三、高考考题题例分析：

例1.（2018课标卷II）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为　

【答案】40π．

例2.（2018课标卷III）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）

A．12   B．18     C．24    D．54

【答案】B

例3.（2018天津卷）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为　　．

【答案】

【解析】：正方体的棱长为1，M﹣EFGH的底面是正方形的边长为：，

四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，

四棱锥M﹣EFGH的体积：=．

故答案为：．学  

例4.（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　．

【答案】

例5.(2017课标II)如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（  ）

A．                   B．              C．                     D．

【答案】B

例6.(2017课标III)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．   B．    C．   D．

【答案】B

【解析】

例7.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .

【答案】

例8.(2017江苏卷)如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是.

【答案】

【解析】：设球半径为，则．故答案为．

例9.(2016高考新课标1卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（   ）

（A）   （B）   （C）    （D）

【答案】A

例10.(2016高考新课标III)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，

，，，则的最大值是（）

（A）4π           （B）   （C）6π              （D）

【答案】B

【解析】：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．

空间几何体的表面积和体积练习

一、选择题

1．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)

A．1 cm　　　　　　 B．2 cm

C．3 cm D． cm

【答案】B　

【解析】：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，

∴r＝2(cm)．

2.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于                                                         （  ）

A.1         B.2        C.3         D.4

【答案】B

3.在梯形中，， .将梯

形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为      （  ）

（A）    （B）      （C）      （D）

【答案】C

【解析】：直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：

故选C.学  

4.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为                                                                       （  ）

【答案】

5.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为                                                                       (　　)

A．48＋4π B．72＋4π

C．48＋6π D．72＋6π

【答案】D　

【解析】：由三视图可得该几何体是棱长为4的正方体截去底面是边长为2的正方形、高为4的长方体，再补上个底面圆半径为2、高为4的圆柱，则该几何体的表面积为16×2＋2(12＋π)＋8×2＋×2π×2×4＝72＋6π，故选D．

 6.几何体的三视图如图所示(在 格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为                                                                       (　　)

A．48　　　　　　 B．54

C．64 D．60

【答案】D

7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是   (　　)

A．2 B．

C． D．3

【答案】D　

【解析】：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝×(1＋2)×2＝3，

∴V＝x·3＝3，

解得x＝3.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是                         (　　)                                       

A．16 B．20

C．52 D．60

【答案】B　

【解析】：由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中四边形ABCD为邻边长分别为2,4的长方形，四边形CDEF为上底为2、下底为6、高为3的等腰梯形，所以该几何体可以看作是由两个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱锥和一个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱柱组成，则该几何体的体积为2×××3×4×2＋×3×4×2＝20，故选B.

9.一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为                                                                       (　　)

A．24 B．48

C．72 D．96

【答案】B　

10.正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为                                                                 (　　)

A．3 B．

C．1 D．

【答案】C　

【解析】：由题意可知，AD⊥平面B1DC1，即AD为三棱锥A­B1DC1的高，且AD＝×2＝，

易求得S△B1DC1＝×2×＝，

所以VA­B1DC1＝××＝1.

11.已知三棱锥S­ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为                                                 (　　)

A．64π B．68π

C．72π D．100π

【答案】D　

【解析】：由于△ABC是直角三角形，则对应的截面圆的圆心为AB的中点，截面圆半径r＝4，且球心就在过截面圆的圆心且垂直于截面的直线上，且球心平面ABC的距离等于SC的一半，故三棱锥的外接球的半径R＝＝5，故三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝100π，故选D．学  

12．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°.若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为                                       (　　)

A． B．4π

C． D．

二、填空题

13．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为        ．

【答案】12　

【解析】：设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.

由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，

∴斜高h′＝＝2，

∴S侧＝6××2×2＝12.

14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为        ．

【答案】π　

15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为        ．

【答案】25π

【解析】：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2，所以AC＝4．在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝25π．

16．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为        .

【答案】π　

【解析】：如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得

HA＝·2R＝R，

∴OH＝.

∵截面面积为π＝π·(HM)2，

∴HM＝1.

在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，

∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，

∴R＝，

∴S球＝4πR2＝4π·＝π.

三、解答题

17..如图7­2­15，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱锥D­ABC的体积的最大值.

【答案】2

18.如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

【答案】(2)

【解析】：　(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．

19．四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

 (1)求四面体ABCD的体积；

(2)证明：四边形EFGH是矩形．

【答案】(1)

【解析】：　(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，

∴AD⊥平面BDC，

∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.

(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，

∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.

同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

又∵AD⊥平面BDC，

∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.

∴四边形EFGH是矩形．