溯源回扣二　函数与导数

1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为0；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.

[回扣问题1]　函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是(　　)

A.    B.

C.    D.

解析　由题意可知即所以－<x<1.

答案　A

2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原则.

[回扣问题2]　(2017·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________.

解析　要使函数有意义，则x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，结合二次函数、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞).

答案　(4，＋∞)

3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数y＝f(x)为奇函数，但不一定有f(0)＝0成立.

[回扣问题3]　函数f(x)＝的奇偶性是________.

解析　由1－x2>0且|x－2|－2≠0，知f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称，则f(x)＝，

又f(－x)＝＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数.

答案　奇函数

4.理清函数奇偶性的性质.

(1)f(x)是偶函数f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；

(2)f(x)是奇函数f(－x)＝－f(x)；

(3)定义域含0的奇函数满足f(0)＝0.

[回扣问题4]　已知函数f(x)＝ln(|x|＋1)＋，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)

A.    B.∪(1，＋∞)

C.(1，＋∞)    D.

解析　易知函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)＋是[0，＋∞)上的增函数，∴使得f(x)>f(2x－1)成立的x满足|2x－1|<|x|，得<x<1.

答案　A

5.记准函数周期性的几个结论：

由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：

(1)函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；

(2)若f(x＋a)＝(a≠0)成立，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a；

(4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则T＝2a.

[回扣问题5]　对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当2<x≤3时，f(x)＝x，则f(2 017)＝________.

解析　易知y＝f(x)的最小正周期T＝4，

∴f(2 017)＝f(1)＝－＝－.

答案　－

6.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.

[回扣问题6]　函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.

解析　由f′(x)＝3x2－3>0，得x>1或x<－1.

答案　(－∞，－1)和(1，＋∞)

7.图象变换的几个注意点.

(1)混淆平移变换的方向与单位长度.

(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|).

(3)两个函数图象的对称.

[回扣问题7]　函数g(x)＝4sin xcos x的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象，则f ＝________.

解析　函数g(x)＝4sin xcos x＝2sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y＝2sin2＝2sin的图象，该函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)所得图象对应的函数为f(x)＝2sin＝2sin，所以f ＝2sin＝2sin＝.

答案　

8.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件.

[回扣问题8]　(2018·潍坊模拟)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)

解析　由于f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上为减函数，则0<a<1.又|x|－1>0，得x>1或x<－1.当x>1时，y＝loga(x－1)是减函数，易知D正确.

答案　D

9.分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.

[回扣问题9]　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________.

解析　由题意知

即

所以≤k<1.

答案　

10.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.

[回扣问题10]　函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

解析　由|x－2|－ln x＝0，得ln x＝|x－2|.在同一坐标系内作y＝ln x与y＝|x－2|的图象(图略)，有两个交点.∴f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内有两个零点.

答案　B

11.混淆y＝f(x)的图象在某点(x0，y0)处的切线与y＝f(x)过某点(x0，y0)的切线，导致求解失误.

[回扣问题11]　(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.

解析　f(1)＝a，切点为(1，a).f′(x)＝a－，则切线的斜率为f′(1)＝a－1，切线方程为：y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y轴上的截距为1.

答案　1

12.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.

注意　如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.

[回扣问题12]　已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________.

解析　由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，

∵当x∈时，＝，∴2a≥，即a≥.

答案　

13.对于可导函数y＝f(x)，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件.

[回扣问题13]　若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝________.

解析　由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

解得或经验证，当a＝4，b＝－11时，满足题意；当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0恒成立，不满足题意，舍去.

答案　－7

14.运用微积分基本定理求定积分f(x)dx的值的关键是逆用求导公式求出f(x)的原函数，常记错基本初等函数的求导公式，忽视系数致误.

[回扣问题14]　(1)定积分(2x＋ex)dx的值为______.

(2)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________.

解析　(1) (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝e.

(2)联立得x＝0或x＝2.

∴直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4x－x3)dx＝＝4.

答案　(1)e　(2)4