溯源回扣四　数列与不等式

1.已知数列的前n项和Sn求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.

[回扣问题1]　在数列{an}中，a1＋＋＋…＋＝2n－1(n∈N*)，则an＝________.

解析　依题意得，数列的前n项和为2n－1，

当n≥2时，＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，

又＝21－1＝1＝21－1，因此＝2n－1(n∈N*)，

故an＝n·2n－1.

答案　n·2n－1

2.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解.

[回扣问题2]　等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.

解析　＝＝＝＝＝.

答案　

3.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.

[回扣问题3]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝________.

解析　(1)当q＝1时，显然S3＋S6＝S9成立.

(2)当q≠1时，由S3＋S6＝S9，

得＋＝.

由于1－q3≠0，得q6＝1，∴q＝－1.

答案　1或－1

4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视an－an－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限制，类似地，在等比数列中，＝q(常数且q≠0)，忽视n≥2，n∈N*的条件限制.

[回扣问题4]　(2015·安徽卷改编)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________.

解析　由a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，∴数列{an}从第2项起是公差为的等差数列，∴S9＝a1＋a2＋a3＋…＋a9

＝1＋8a2＋×＝23.

答案　23

5.对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式时，要注意分n的奇偶性讨论.

[回扣问题5]　若an＝2n－1，bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.

解析　bn＝(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1).

当n为偶数时，Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(－2)×＝－n.

当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋an＝n.

故Tn＝

答案　Tn＝

6.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.

[回扣问题6]　若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.

解析　原不等式化为(m2－1)x2－(m＋1)x＋1>0对x∈R恒成立.

(1)当m2－1＝0且m＋1＝0，不等式恒成立，∴m＝－1.

(2)当m2－1≠0时，则

即所以m>或m<－1.

综合(1)(2)知，m的取值范围为(－∞，－1]∪.

答案　(－∞，－1]∪

7.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值.

[回扣问题7]　(2017·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.

解析　依题意＋＝1(a>0，b>0)，

∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥8，

当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，取等号.

故2a＋b的最小值为8.

答案　8

8.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.

[回扣问题8]　若x，y满足约束条件则z＝的最小值为(　　)

A.－2    B.－

C.－    D.

解析　作出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，

z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P(－3，2)连线的斜率，设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，

由＝2，解得k＝0或k＝－.

∴z＝的最小值为－.

答案　C

9.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.

[回扣问题9]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________.

解析　∵ax2＋bx＋c<0的解集为，

∴a<0，且＝1，－＝－，

∴b＝a，c＝a，故ax2－bx＋c>0化为ax2－ax＋a>0，

由于a<0，得x2－x＋1<0，解之得<x<2.

答案