2019届二轮复习立体几何（含空间向量）学案（全国通用）


2018二模汇编高考最后冲刺讲义——立体几何

一、考纲解读：







空间图形
平面及其
表示法

体验从现实世界中抽象出空间形式的过程。会用平行四边形以及字母表示平面

平面的
基本性质

理解平面的基本性质
会用文字语言、图形语言、集合语言表述平面的基本性质，并会用于进行简单的推理论证。掌握确定平面的方法
几何体的
直观图


会用“斜二测”方法画简单的几何体（长方体、棱锥）以及长方体的截面（如截平面过已知不共线的、位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据）等。掌握画空间图形的基本技能，具有一定的空间想象能力
空间直线与平面的位置关系

初步会将平行线的传递性、等角定理等由平面推广到空间，并对等角定理进行证明。会求简单情形下的异面直线所成的角
会用文字语言、图形语言、符号语言、集合语言表示这些位置关系；会用反证法证明两条直线是异面直线。会用演绎法对空间有关问题（如平面基本性质的推论、等角定理、两条直线是异面直线等）进行证明和推算，具有一定的演绎推理能力


简单几何体的研究
柱体
认识圆柱的基本特征
体会化“曲”为“直”、祖暅原理和图形割补等思想方法
掌握棱柱的有关概念以及直棱柱的有关性质。会解决柱体的表面积、体积的计算问题
锥体
认识圆锥的基本特征
体会化“曲”为“直”、祖暅原理和图形割补等思想方法
掌握棱锥的有关概念以及正棱锥的有关性质。会解决椎体的表面积、体积的计算问题
球
认识球的基本特征。知道球的表面积和体积的计算公式。知道球面距离和经度、纬度等概念，认识数学与实际的联系

会用球的表面积和体积公式进行有关的度量计算。会类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质进行探讨

空间向量
空间向量的
概念及其运算

理解空间向量的有关概念
掌握空间向量的线性运算和数量积
空间向量及其
运算的坐标表示

建立空间直角坐标系，会用坐标表示空间向量，会把空间向量的运算化为坐标表示









二、知识梳理：

1、三个公理和三条推论：

（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。
（2）公理2：如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。
（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。
【例1】给出命题：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，则 lα；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若lα　，A∈l，则Aα　④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合。上述命题中，真命题是__________；
【答案】①②④

【例2】长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为______________；
【答案】24

【分析】该图像为连接线段中点的菱形）
2、空间直线的位置
（1）.空间两直线的位置关系有：（1）相交直线――有且只有一个公共点。（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。
（2）.异面直线的判定：反证法。
（3）.异面直线所成角的求法：（1）范围：；
（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
（4）.异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。
（5）.两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（6）.两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。



【例3】给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。
其中正确的命题是_________________
【答案】①③
【例4】如果a、b是异面直线，P是不在a、b上的任意一点，下列四个结论：①过点P一定可以作直线与a、b都相交；　②过点P一定可以作直线与a、b都垂直；③过点P一定可以作平面α与a、b都平行；　④过点P一定可以作直线与a、b都平行。其中正确的结论是_____；
【答案】②
【例5】 正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于________；
【答案】

【例6】 在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为________；
【答案】90°

【例7】已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条；
【答案】2
【例8】下列命题中，正确的是 （ ）
Ａ、若直线平行于平面内的一条直线b , 则 //
Ｂ、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则⊥b
Ｃ、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，则与b是异面直线
Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥；
【答案】D
3、空间直线与平面的位置关系：直线在平面上，直线与平面相交（垂直相交，斜角），直线与平面平行
（1）直线与平面平行的判定和性质：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。②性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。

直线和平面垂直的判定和性质：①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。
【例9】α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是 （ ）
A、α⊥β，a⊥β B、α∩β＝b，且a∥b
C、a∥b且b∥α D、α∥β且aβ；
【答案】D
【例10】 已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是 （ ）
A、a⊥b，a⊥c其中ｂα，cα B、a⊥b ，b∥α
C、α⊥β，a ∥β D、a∥b，b⊥α
【答案】D
4. 直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
【例1】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______________；
【答案】arcsin
【例12】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是_______________；
【答案】
【例13】是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为_____________；
【答案】
5. 两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
【例14】是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面的条件是 （ ）
A、是内一个三角形的两条边，且
B、内有不共线的三点到的距离都相等
C、都垂直于同一条直线
D、是两条异面直线，m,n，且；
【答案】B
【例15】给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是___________；
【答案】①③⑤
6. 二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。

【例16】正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________；
【答案】

【例17】将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是______；
【答案】

【例18】正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______；
【答案】

7.两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【例19】 已知直线平面，直线平面，给出下列四个命题：①； ②；③；④。其中正确的命题是________；
【答案】①③

【例20】设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：①若则；②若，则；③若，则或a；④若则。其中正确的命题是_________；
【答案】①③④
8.空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）
（1）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。
（2）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。
（3）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。
（4）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。
【例21】等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是_________；
【答案】

【例22】点P是120°的二面角α--β内的一点，点P到α、β的距离分别是3、4，则P到的距离为　___________；
【答案】
【例23】长方体的棱，则点到平面　的距离等于______；
【答案】
【例24】在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为______
【答案】

9、多面体
棱柱：（1）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；（2）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。
正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。
【例25】下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_____________。
【答案】②④
【例26】四面体中，有如下命题：①若，则；②若分别是的中点，则的大小等于异面直线与所成角的大小；③若四个面是全等的三角形，则为正四面体。其中正确的是________
【答案】①
【例27】在三棱锥的四个面中，最多有_______个面为直角三角形；
【答案】4
10、直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。
【例28】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）

【答案】A
11、圆柱、圆锥的定义及性质（如图）:

图形




定义


有关线
轴
直线
直线
母线



有关面
底面
圆
圆
平行于底的截面
圆
圆
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形


侧面及
展开图





【例29】过高为10cm的圆锥顶点作一个与底面成45°角的截面，这截面将底面圆周截去，则这截面面积为______________
【答案】

【例30】一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为 。
【答案】

【例31】圆柱的内接三棱柱ABC——A’B’C’的一个侧面A’ABB’经过圆柱的轴，且A’ABB’为正方形，已知AC∶BC=4∶3，则过BCA’的平面与圆柱底面所成角的正切值为________
【答案】
12、球
球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝。
经纬度及球面距离
纬度、经度：
①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.
⌒
⌒
⌒
⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°经线，若某地P是在东经120°，北纬40°，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS于A，那么则应有：∠AO1P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（线面角）。
⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。
【例32】在半径为10的球面上有三点，如果，则球心到平面的距离为______
【答案】

【例33】已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC的距离为______
【答案】12
【例34】设地球半径为，在北纬圈上有两地，它们的纬度圈上的弧长等于，求两地间的球面距离；
【答案】

【例35】球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3点的小圆的周长为，那么这个球的半径为______
【答案】

【36】三棱锥的三个侧面两两垂直，，若四个点都在同一球面上，则此球面上两点A、B之间的球面距离是_________。
【答案】

13. 空间向量
法向量：空间平面的法向量的求解方法：
在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或 ，在平面内任找两个不共线的向量.由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到.

空间的角
①若异面直线的方向向量为，；与所成的角为，则
②已知直线的方向向量为，平面的法向量，与平面的夹角为，则；
③已知二面角的两个面和的法向量分别为，，则与该二面角相等或互补；

空间的距离
若平面的一个法向量为，P是平面外一点，A是内任一点，则点P到平面的距离
【例1】已知，,，那么平面的一个单位法向量的坐标是
【答案】
【例2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，
，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证：依题设，在以为直径的球面上，
则．
因为平面，则，
又，所以⊥平面，则，

因此有⊥平面，所以平面⊥平面．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，， ，，，
设平面的一个法向量，由可得：，
令，则，即． 设所求角为，
则，所求角的大小为．
（3）设所求距离为，由，,
得：
【例3】如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面射影恰好为，又
（1）求异面直线与所成角的余弦值
（2）求二面角的大小
（3）设点在棱上，且，问为何值时，平面．

【参考答案】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系．
,
所以两异面直线所成的角为,
（2）求的平面的一个法向量，平面的一个法向量为, ，二面角的大小为
（3）由条件可得，设，，得,
,由，此时平面．
14. 三视图
特别需要注意椎体的三视图【主视图以及左视图的高是椎体的高】


【例1】将正三棱柱截去三个角（如图1所示，，分别是△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
．
B
E
．
B
E
．
B
E
．

【答案】．
【分析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙)，可得答案．
变式：如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中
的（ ）．
A．
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
B．
C．
D．
正前方
om







答案：B
【例2】设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）．则该几何体的体积为 ．


【答案】4．
【分析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于×2×4×3＝4

变式：一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（ ）
．48+12；
．48+24；
．36+12；
．36+24．
【答案】．








三、二模汇编：





四、直击高考：
1、填空题
1.（2009年高考5）如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的大小是_____ ___.（结果用反三角函数值表示）

答案：
2.（2009年高考理 8）已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，满足的等量关系是_____ ___.
答案：
3.（2009年高考文 6）若球的面积之比，则它们的半径之比___ ____.
答案：2
4.（2009年高考文 8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是____ ____.
答案：
5.（2010年高考理 12）如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于点，剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则以 为顶点的四面体的体积是_____ ___.

答案：
6.（2010年高考文 6）已知四棱锥的底面是边长为6的正方体，侧棱底面，且，则该四棱锥的体积是_____ ___.
答案：96
7.（2011年高考理 7）若圆锥的侧面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为_____ __.
答案：
8.（2011年高考文 7）若一个圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为_____ ____.
答案：
9.（2012年高考理 6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则_____ ____.
答案：
10.（2012年高考理 8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_____ ____.
答案：
11.（2012年高考理 14）如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中为常数，则四面体的体积的最大值是_____ ____.

答案：
12.（2012年高考文 5）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为_____ ____.
答案：
13.（2013年高考理 13）在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分．记绕轴旋转一周而成的几何体为．过作的水平截面，所得截面面积为．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_____ ____.

答案：
14.（2013年高考文 10）已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则_____ ____.

答案：
15.（2014年高考文 7理 6）若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小
为 （结果用反三角函数值表示）．
答案：
16.（2014年高考文 7理 6）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，
则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．
答案：


17.（2015年高考文 6理 4）若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 ．
【答案】


18.（2015年高考理 6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
【答案】
【解析】由题意得：母线与轴的夹角为
【考点定位】圆锥轴截面 g st .

19.（2016年高考理 6）在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________
【答案】
20.（2017年高考理 4）已知球的体积为，则该球主视图的面积等于
【答案】
【解析】
21.（2017年高考理 7）如图，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，
则的坐标为
【答案】


2、选择题

1.（2014年高考理 16）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱
柱，是 一条侧棱，是上底面上其余的八个点，
则的不同值的个数为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：
3、解答题
1.（2009年高考理 19）如图，在直三棱柱中，,
,求二面角的大小

答案：如图，建立空间直角坐标系则 A，C，A1，B1，C1，
设AC的中点为M，BMAC，BMCC1， BM平面AC1C，
即=是平面AC1C的一个法向量。设平面A1B1C的一个法向量是=，
=，=， ==0，=，，
解得。=，
设法向量与的夹角为，二面角


2.（2010年高考理 21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
（1）当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（精确到0.01平方米）；
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8

答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
（2） 当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得，，
设向量与的夹角为q，则，
所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为．

3.（2010年高考文 20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
（1） 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
（2） 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．

答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
（2） 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略．

4.（2011年高考理 21）已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点.
（1）设与底面所成角的大小为，二面角的大小为
求证：；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高

答案：解：设正四棱柱的高为
⑴ 连，底面于，∴ 与底面所成的角为，
即
∵ ，为中点，∴，又，
∴ 是二面角的平面角，即
∴ ，.
⑵ 建立如图空间直角坐标系，有

，设平面的一个法向量为，
∵ ，取得
∴ 点到平面的距离为，则

5.（2011年高考文 20）已知是底面边长为1的正四棱柱，高
（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求四面体的体积

答案：⑴ 连，∵ ，
∴ 异面直线与所成角为，记，

∴ 异面直线与所成角为.
⑵ 连，则所求四面体的体积

6.（2012年高考理 19）如图，在四棱锥中，底面是矩形，⊥底面，是的中点，已知，，，求：
（1）三角形的面积
（2）异面直线与所成的角的大小.

答案：（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD. 因为PD=，CD=2，
所以三角形PCD的面积为.
（2）[解法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
A
B
C
D
P
E
x
y

则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，.
设与的夹角为q，则，q=.
由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是
[解法二 取PB中点F，连接EF、AF，
A
B
C
D
z
P
E

则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角
在中，由EF=、AF=、AE=2，知是等腰直角三角形，
所以∠AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是

7.（2012年高考文 19）如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：
（1）三棱锥的体积
（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）

答案：（1），三棱锥P-ABC的体积为.
（2）取PB的中点E，连接DE、AE，
P
A
B
C
D
E

则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角.
在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，，所以∠ADE=.
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是.

8.（2013年高考理 19）如图，在长方体中，，，. 证明直线平行于平面，并求直线到平面的距离

答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为、、、、．
设平面的法向量为，则，．
因为，，，，
所以，解得，．取，
得平面的一个法向量．因为，所以，所以．
又不在平面内，所以直线与平面平行．由，
得点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为



9.（2013高考文 19）如图，正三棱锥的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积

答案：由已知条件可知，正三棱锥的底面△是边长为2的正三角形，
经计算得底面△的面积为．所以三棱锥的体积为．
设是正三角形的中心．由正三棱锥的性质可知，垂直于平面．
延长交于，得，．
又因为，所以正三棱锥的斜高．
故侧面积为．所以该三棱锥的表面积为，
因此，所求三棱锥的体积为，表面积为．
10.（2014高考19）底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，
如图，求的各边长及此三棱锥的体积．
答案：在中，，，所以是中位线，故．
同理，，．所以是等边三角形，各边长均为．
设是的中心，则平面，所以，．
从而，．

11.（2015高考理19）（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.

【答案】

因此直线与平面所成的角的大小为．
【考点定位】空间向量求线面角


12.（2015高考文19）（本题满分12分）
如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角。
分析：本题考查了圆锥的体积公式和异面直线夹角的求法，属于比较基础的题目，几何法主要通过中位线，把已知直线平移到同一个平面内即可，因为垂直关系比较容易找到，从而线段的长度也就容易计算了。
答案：，





13.（2016高考19）将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小。

【解析】（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．
由的长为，可知．
，
．
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为直线与所成的角．
由长为，可知，又，所以，
从而为等边三角形，得．
因为平面，所以．在中，因为，，，所以，从而直线与所成的角的大小为．

14.（2017高考17）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.
（1）求三棱柱的体积；
（2）设M是BC中点，求直线
与平面所成角的大小.

【解析】（1）
（2），线面角为