溯源回扣五　立体几何

1.由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主.

[回扣问题1]　在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)

A.①和②    B.③和①

C.④和③    D.④和②

解析　在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②，D正确.

答案　D

2.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.

[回扣问题2]　(2018·贵阳检测)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的体积是(　　)

A.   B.1   C.2   D.

解析　依题意得，题中的几何体是一个正六棱锥，其中底面是边长为1的正六边形，高为2×＝，因此该几何体的体积等于××＝.

答案　D

3.忽视三视图的实、虚线，导致几何体的形状结构理解错误.

[回扣问题3]　如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为____________.

解析　由三视图可知，几何体为正方体截去两个三棱锥后的部分，因为V正方体＝1，V三棱锥＝×13×＝，因此，该多面体的体积V＝1－×2＝.

答案　

4.忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，这是因为忽视面面垂直的性质定理中mα的限制条件.

[回扣问题4]　已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，nγ，则下列判断一定正确的是(　　)

A.m∥γ，α⊥γ    B.n∥β，α⊥γ

C.β∥γ，α⊥γ    D.m⊥n，α⊥γ

解析　因为α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，nγ，所以α⊥γ成立，但m，γ可能相交，故A不正确；也有可能nβ，故B不正确；对于C，也有β与γ相交的可能，故C也不正确；对于D，因为α∩β＝m，n⊥α，所以m⊥n.

答案　D

5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.

[回扣问题5]　(2018·烟台一模)一张矩形白纸ABCD，AB＝10，AD＝10，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号).

①当平面ABE∥平面CDF时，AC∥平面BFDE；

②当平面ABE∥平面CDF时，AE∥CD；

③当A，C重合于点P时，三棱锥P－DEF的外接球的表面积为150π.

解析　①中，易知A，C到平面BFDE的距离相等，AC∥平面BFDE正确；

②中，平面ABE∥平面CDF时，AE与CD异面，AE∥CD不正确；

③中，三棱锥P－DEF中，PD2＋PF2＝CD2＋CF2＝DF2，∴∠DPF＝90°，且DF2＝102＋(5)2＝150，又∠DEF＝90°，∴DF的中点为三棱锥P－DEF的外接球的球心，则2R＝DF，故球表面积S＝4πR2＝πDF2＝150π，正确.

答案　①③

6.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系.如求解二面角时，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.

[回扣问题6]　如图，四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为________.

解析　由∠ABC＝∠DCB＝知，与的夹角θ就是二面角A－BC－D的平面角.

又＝＋＋，

∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·.

因此2·＝(2)2－12－32－22＝－2，

∴cos(π－θ)＝－，且0<π－θ<π，

则π－θ＝π，故θ＝.

答案