2019届二轮复习提能一　巧做小题　妙拿高分学案（全国通用）


提能一　巧做小题　妙拿高分
考前必会八种小题技法

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授课提示：对应学生用书第83页

原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．
2.基本策略：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演运算、谨防疏漏．
题型特点：1.高、中、低档题，且多数按由易到难的顺序排列.2.注重基本知识、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法灵活多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.

技法一　定义法
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定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．
　(2018·平顶山调研)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1(m＞n＞0)有共同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则 PF1 · PF2 ＝(　　)
A．m2－a2 B.－
C.(m－a) D．m－a
解析：不妨设点P是第一象限内两曲线的交点，F1、F2分别为左、右焦点，由椭圆的定义可知， PF1 ＋ PF2 ＝2，由双曲线的定义可知 PF1 － PF2 ＝2，两式联立得 PF1 ＝＋， PF2 ＝－，所以 PF1 · PF2 ＝m－a.
答案：D
[反思领悟 　利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题时，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如本例中根据双曲线的定义和椭圆的定义建立方程组后就可求出 PF1 · PF2 的值．
[练法——应用体验
1．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m,4)在角α＋的终边上，则m＝(　　)
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
解析：由题意得，tan α＝，tan＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.
答案：A
2．(2018·长沙二模)已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A. B．4
C. D．5
解析：由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.
答案：D

技法二　数形结合法
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数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
　(2018·洛阳模拟)已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)(x∈R)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则方程 cos πx －f(x)＝0在[－1,3 上的所有根之和为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：方程 cos πx －f(x)＝0在[－1,3 上的所有根之和即y＝ cos πx 与y＝f(x)在[－1,3 上的图象交点的横坐标之和．由f(1－x)＝f(1＋x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称，由f(1－x)＝f(x－1)得f(x)的图象关于y轴对称，由f(1＋x)＝f(x－1)得f(x)的一个周期为2，而当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝ cos πx 在[－1,3 上的大致图象，如图所示，

易知两图象在[－1,3 上共有11个交点，又y＝f(x)，y＝ cos πx 的图象都关于直线x＝1对称，故这11个交点也关于直线x＝1对称．故所有根之和为11.故选D.
答案：D
[反思领悟 　数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如本例中巧妙借助图象确定对称性求解．
[练法——应用体验
1．(2018·沈阳模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0 时，f(x)＝()x－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2 ＝f[(x＋2)－2 ＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数，作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.

答案：C
2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120˚.如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A．3 B．4
C．2 D．8
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B(cos 120˚，sin 120˚)，
即B.
设∠AOC＝α，
则＝(cos α，sin α)．
∵＝x＋y＝(x,0)＋
＝(cos α，sin α)，
∴∴
∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30˚)．
∵0˚≤α≤120˚，∴30˚≤α＋30˚≤150˚.
∴当α＝60˚时，x＋y有最大值2.
答案：C

技法三　特例法
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特例法，包括特例验证法、特例排除法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排除干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．
　(2016·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,1 B.
C. D.
解析：法一：(特殊值验证法)取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A、B、D.故选C.
法二：(直接法)函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1 恒成立，所以
解得－≤a≤.故选C.
答案：C
[反思领悟 　应用特例法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项．如本例中先利用取一特殊值验证问题可求解．
[练法——应用体验
1．已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令＝a，＝b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D.
解析：由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，但所求最后的结果是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．如图，PQ∥BC，则＝，＝，此时m＝n＝，故＋＝3.
答案：A
2．如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　　)

A．3∶1 B．2∶1
C．4∶1 D.∶1
解析：将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ，则有VC­AA1B＝VA1­ABC＝VABC­A1B1C1，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.
答案：B

技法四　估值法
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估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．
　若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0＜0.5＜1，所以a＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y＝logπx，y＝log2x均在(0，＋∞)上单调递增，而1＜3＜π，所以b＝logπ3∈(0,1)，因为sinπ∈(0,1)，所以c＝log2sin＜0.
综上，a＞1＞b＞0＞c，即a＞b＞c.
答案：A
[反思领悟 　估算省去很多推导过程和比较复杂的计算，节省时间，是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要注意估算也要有依据，如本例是根据指数函数与对数函数的单调性估计每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实就是找一个中间值进行比较．
[练法——应用体验
1．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以＝.
因为e＝＞，所以e＞.
故选D.
答案：D
2．若M为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过M中的部分区域的面积为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小，结合选项可知选C.

答案：C

技法五　待定系数法
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要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫做待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等，使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等．
　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，
可得＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得＝.②
由①②解得a＝2，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
答案：D
[反思领悟 　待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如本例中已知双曲线的焦点在抛物线y2＝4x的准线上，根据已知条件列方程求解a，b即可．
[练法——应用体验
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝(　　)
A．41 B．48
C．49 D．56
解析：设Sn＝An2＋Bn，
由题知，解得A＝1，B＝0，
∴S7＝49.
答案：C
2．(2018·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，其中点A在第一象限，且＝2，则直线l的方程为________．
解析：由题意，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，与x2＋y2＝5联立，消去x并整理可得(m2＋1)y2＋2my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)，y1＋y2＝－，①
y1y2＝－.　②
因为＝2，所以－y2＝2y1，　③
联立①②③，可得m2＝1，
又点A在第一象限，所以y1＞0，则m＝1，所以
直线l的方程为x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0

技法六　换元法
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换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等．
　已知正数x，y满足4y－＝1，则x＋2y的最小值为________．
解析：由4y－＝1，得x＋2y＝4xy，即＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝1＋＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．所以x＋2y的最小值为2.
答案：2
[反思领悟 　换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换．如本例中就是使用常数1的代换，将已知条件化为“＋＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值．
[练法——应用体验
1．(2018·成都一模)若函数f(x)＝，其定义域为(－∞，1 ，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意得1＋3x＋a·9x≥0的解集为(－∞，1 ，即2＋x＋a≥0的解集为(－∞，1 ．令t＝x，则t≥，
即方程t2＋t＋a≥0的解集为，
∴2＋＋a＝0，所以a＝－.
答案：A
2．函数y＝cos2x－sin x在x∈上的最大值为________．
解析：y＝cos2x－sin x＝－sin2x－sin x＋1.
令t＝sin x，又x∈，∴t∈，
∴y＝－t2－t＋1，t∈.
∵函数y＝－t2－t＋1在上单调递减，
∴t＝0时，ymax＝1.
答案：1

技法七　构造法
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构造法求解选择、填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它 于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括、积极联想、横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、数列、几何等具体的数学模型，使问题得以快速解决．
　(1)若a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)如图，已知球O的表面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．

解析：(1)令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．
∵1＞＞＞＞0，∴a＞b＞c.
(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，

所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
答案：(1)A　(2)π
[反思领悟 　构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．如本例(2)中巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题就很容易得到解决．
[练法——应用体验
1．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π＝________(用分数表示)．
解析：(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为
作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有＝，解得π＝.
答案：
2．关于x的不等式ex－－1－x≥0在x∈上恰成立，则a的取值集合为________．
解析：关于x的不等式ex－－1－x≥0在x∈上恰成立⇔函数g(x)＝在上的值域为.
因为g′(x)＝，
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，x∈，
则φ′(x)＝x(ex－1)．
因为x≥，所以φ′(x)≥0，
故φ(x)在上单调递增，
所以φ(x)≥φ＝－＞0.
因此g′(x)＞0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g()＝＝2－，
所以a－＝2－，解得a＝2，
所以a的取值集合为{2}．
答案：{2}



技法八　分离参数法
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分离参数法是解决不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况．
　(2018·成都模拟)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1,1 D．[0，＋∞)
解析：法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，
当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－(x＋)，
又－(x＋)≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，
当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；
当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.
综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
答案：B
[反思领悟 　利用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，则分离参数时应注意不等号的变化，否则就会导致错解．
[练法——应用体验
1．(2018·湖南五校调研)方程(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．
解析：若方程(a－2x)＝2＋x有解，
则2＋x＝a－2x有解，
即×x＋2x＝a有解，
∵×x＋2x≥1，
当且仅当x＝－1时取等号．
故a的最小值为1.
答案：1
2．(2018·长沙二模)设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意得2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)对x∈恒成立，即x2＋2x＋3≤0对x∈恒成立，即－4m2－1≤对x∈恒成立，令g(x)＝，由于g(x)＝＝－－在上是增函数，故只需－4m2－1≤g＝－即可，解得m≤－或m≥，即m的取值范围是∪.
答案：∪