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    2019届二轮复习函数与方程思想、数形结合思想学案(全国通用)

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    函数与方程思想、数形结合思想

    一、函数与方程思想在不等式中的应用
    函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解.
    1.若0 答案 x2>x1
    解析 设g(x)=(0 又0 ∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.
    又0g(x2),
    ∴x2>x1.
    2.(2018·宿州调研)已知定义在R上的偶函数满足f(x)=x3+4x(x≥0),若f(1-2m)≥f(m),则实数m的取值范围是______________.
    答案 ∪[1,+∞)
    解析 由题意可知,定义在R上的偶函数f(x)=x3+4x(x≥0),因为y=x3,y=4x在x≥0时都是单调递增的函数,故函数f(x)=x3+4x在x≥0时为增函数,又函数f(x)为偶函数,故图象关于y轴对称,所以f(1-2m)≥f(m),只需|1-2m|≥|m|,即m∈∪[1,+∞).
    3.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x),满足g′(x)-g(x)<0,若函数g(x)的图象关于直线x=2对称,且g(4)=1,则不等式>1的解集为________.
    答案 (-∞,0)
    解析 ∵函数g(x)的图象关于直线x=2对称,
    ∴g(0)=g(4)=1.
    设f(x)=,
    则f′(x)==.
    又g′(x)-g(x)<0,∴f′(x)<0,
    ∴f(x)在R上单调递减.
    又f(0)==1,∴f(x)>f(0),∴x<0.
    4.若 x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是 _________.
    答案 [-6,-2]
    解析 当-2≤x<0时,不等式转化为a≤.
    令f(x)=(-2≤x<0),
    则f′(x)==,
    故f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
    此时有a≤f(x)min=f(-1)==-2.
    当x=0时,不等式恒成立.
    当0 则f(x)在(0,1]上单调递增,
    此时有a≥f(x)max=f(1)==-6.
    综上,实数 a的取值范围是[-6,-2].
    二、函数与方程思想在数列中的应用
    数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,可用函数的观点去处理数列问题,常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数;等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.
    5.已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d=________.
    答案 
    解析 设等差数列的首项为a1,公差为d,则

    解得d=.
    6.在等差数列{an}中,若a1<0,Sn为其前n项和,且S7=S17,则Sn取最小值时n的值为________.
    答案 12
    解析 由已知得, 等差数列{an}的公差d>0,
    设Sn=f(n),则f(n)为二次函数,
    又由f(7)=f(17)知,f(n)的图象开口向上,关于直线n=12对称,
    故Sn取最小值时n的值为12.
    7.(2018·江苏海安高级中学月考)已知等比数列{an}的公比q>1,其前n项和为Sn,若S4=2S2+1,则S6的最小值为________.
    答案 2+3
    解析 ∵S4=2S2+1,∴=2+1⇒a1(1+q)(q2-1)=1,∵q>1,∴S6==×(1+q+q2)(1-q+q2)(1+q)=q2-1++3≥2+3,当且仅当q2=1+(q>1)时取等号,
    ∴S6的最小值为2+3.
    8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=-2,S5=0,S6=3,则nSn的最小值为________.
    答案 -9
    解析 由已知得Sn= ,故nSn=.
    令f(x)=,则f′(x)=x2-5x,
    令f′(x)=0,得x=0或x=,
    ∴ f(x)在上单调递减,在上单调递增.
    又∵n是正整数,当n=3时,nSn=-9,当n=4时,nSn=-8,
    故当n=3时,nSn取得最小值-9.
    三、函数与方程思想在解析几何中的应用
    解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程(组)的思想;直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决;求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答.
    9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知AB=4,DE=2,则C的焦点到准线的距离为________.
    答案 4
    解析 不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),圆的方程设为x2+y2=r2(r>0),如图,

    又可设A(x0,2),
    D,
    点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,∴8=2px0, ①
    点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,∴x+8=r2, ②
    点D在圆x2+y2=r2上,
    ∴5+2=r2, ③
    联立①②③,解得p=4,即C的焦点到准线的距离为p=4.
    10.如图,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,若∠PAQ=60°,且=3,则双曲线C的离心率为________.

    答案 
    解析 因为∠PAQ=60°,AP=AQ,
    所以AP=AQ=PQ,设AQ=2R,
    又=3,则OP=PQ=R.
    双曲线C的渐近线方程是y=x,A(a,0),
    所以点A到直线y=x的距离
    d==,
    所以2=(2R)2-R2=3R2,
    即a2b2=3R2(a2+b2),
    在△OQA中,由余弦定理得,
    OA2=OQ2+QA2-2OQ·QAcos 60°
    =(3R)2+(2R)2-2×3R×2R×
    =7R2=a2.
    由得
    所以双曲线C的离心率为
    e======.
    11.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.若=6,则k的值为________.
    答案 或
    解析 依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1
    由=6知,x0-x1=6(x2-x0),
    得x0=(6x2+x1)=x2= .
    由点D在AB上知x0+2kx0=2,
    得x0=.
    所以=,
    化简得24k2-25k+6=0,解得k=或k=.
    12.已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x交于不同的两点A,B,且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F,则k=________.
    答案 或-
    解析 点F的坐标为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
    则y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),
    当k=0时,l与C只有一个交点,不合题意,因此k≠0.
    将y=k(x+1)代入y2=4x,
    消去y,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0, ①
    依题意知,x1,x2是①的不相等的两个实根,
    则 ②
    由以AB为直径的圆过F,得AF⊥BF,
    即kAF·kBF=-1,
    所以·=-1,即x1x2+y1y2-(x1+x2)+1=0,
    所以x1x2+k2(x1+1)(x2+1)-(x1+x2)+1=0,
    所以(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2=0, ③
    把x1,2=代入③得2k2-1=0,
    解得k=±,经检验k=±适合②式.
    综上所述,k=±.


    一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用
    讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时,要先对方程进行变形,尽量构造两个比较熟悉的函数.
    1.函数f(x)=2x-的零点个数为________.
    答案 1
    解析 在同一平面直角坐标系下,作出函数y1=2x和y2=的图象,如图所示.

    函数f(x)=2x-的零点等价于2x=的根,等价于函数y1=2x和y2=图象的交点横坐标.
    由图可知只有一个交点,所以有一个零点.
    2.若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为________.
    答案 
    解析 x=0是方程的一个实数解;
    当x≠0时,方程=kx2
    可化为=(x+4)|x|,x≠-4,
    设f(x)=(x+4)|x|(x≠-4且x≠0),y=,
    则两函数图象有三个非零交点.
    f(x)=(x+4)|x|=的大致图象如图所示,

    由图可得0<<4, 解得k>.
    所以k的取值范围为.
    3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=|cos πx|在上的所有实数解之和为________.
    答案 -7
    解析 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2.
    又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1=f(x)与y2=|cos πx|的图象如图所示.

    由图象知关于x的方程f(x)=|cos πx|在上的实数解有7个.
    不妨设x1 则由图得x1+x2=-4,x3+x5=-2,x4=-1,x6+x7=0,
    所以方程f(x)=|cos πx|在上的所有实数解的和为-4-2-1+0=-7.
    4.(2018·无锡检测)设函数f(x)=若方程f(x)-mx=0恰好有3个根,则实数m的取值范围为________.
    答案 (0,1)
    解析 当x=0时,xlog2(x+1)-mx=0,所以x=0是方程的一个根;
    当x≥1时,1=mx,所以m=,
    当-1 则m=log2(x+1),
    画出关于g(x)=的函数图象,如图.

    所以满足y=m和y=g(x)的图象有两个交点的m的取值范围为0 二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
    构建函数模型,分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.
    5.(2018·全国Ⅰ改编 )设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是________.
    答案 (-∞,0)
    解析 方法一 ①当即x≤-1时,f(x+1)<f(2x)即为2-(x+1)<2-2x,
    即-(x+1)<-2x,
    解得x<1.
    因此不等式的解集为(-∞,-1].
    ②当时,不等式组无解.
    ③当即-1<x≤0时,f(x+1)<f(2x)即1<2-2x,解得x<0.因此不等式的解集为
    (-1,0).
    ④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.
    综上,不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).
    方法二 ∵f(x)=
    ∴函数f(x)的图象如图所示.

    由图可知,当x+1≤0且2x≤0时,函数f(x)为减函数,故f(x+1)<f(2x)转化为x+1>2x.
    此时x≤-1.
    当2x<0且x+1>0时,f(2x)>1,f(x+1)=1,
    满足f(x+1)<f(2x).
    此时-1<x<0.
    综上,不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,-1]∪(-1,0)=(-∞,0).
    6.设A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0},则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________.
    答案 [-1,+∞)
    解析 集合A是圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B是不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合,要使A⊆B,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的左下方),而当直线与圆相切时,有=1,又m>0,所以m=-1,故m的取值范围是[-1,+∞).

    7.若不等式|x-2a|≥x+a-1对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.
    答案 
    解析 作出y1=|x-2a|和y2=x+a-1的简图,如图所示.

    依题意得2a≤2-2a,
    故a≤.
    8.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为________.
    答案 [0,+∞)
    解析 根据题意知f(x)是一个分段函数,当x≥1时,是一个开口向下的二次函数,对称轴方程为x=a;当x<1时,是一个一次函数.当a>1时,如图(1)所示,符合题意;当0≤a≤1时,如图(2)所示,符合题意;当a<0时,如图(3)所示,此时函数在R上单调递减,不满足题意.综上所述,可得a≥0.

    三、数形结合思想在解析几何中的应用
    在解析几何的解题过程中,通常要数形结合,挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式,构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围; 常见的几何结构的代数形式主要有:①比值——可考虑直线的斜率;②二元一次式——可考虑直线的截距;③根式分式——可考虑点到直线的距离;④根式——可考虑两点间的距离.
    9.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则 m的最大值为________.
    答案 6
    解析 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且AB=2m,因为∠APB=90°,连结OP,可知OP=AB=m.

    要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为OC=5,所以(OP)max=OC+r=6,即m的最大值为6.
    10.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切,则双曲线C的离心率为________.
    答案 
    解析 如图所示,设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q,连结OQ,

    则OQ⊥PF2.
    又PF1⊥PF2,
    O为F1F2的中点,
    所以PF1=2OQ=2a.
    又PF2-PF1=2a,
    所以PF2=4a.在Rt△F1PF2中,由PF+PF=F1F,得4a2+16a2=20a2=4c2,即e==.
    11.已知抛物线的方程为x2=8y,F是其焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使△APF的周长最小,此时点P的坐标为________.
    答案 
    解析 因为(-2)2<8×4,所以点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部,
    如图,设抛物线的准线为l,

    过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连结AQ,
    由抛物线的定义可知,△APF的周长为
    PF+PA+AF=PQ+PA+AF≥AQ+AF≥AB+AF,
    当且仅当P,B,A三点共线时,△APF的周长取得最小值,即AB+AF.
    因为A(-2,4),所以不妨设△APF的周长最小时,点P的坐标为(-2,y0),
    代入x2=8y,得y0=.
    故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
    12.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为________.
    答案 2
    解析 连结PC,由题意知圆的圆心C(1,1),半径为1,从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,Rt△PAC的面积S△PAC=PA·AC=PA越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB有唯一的最小值,此时PC==3,从而PA==2,所以(S四边形PACB)min=2××PA×AC=2.


    1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则f ,f ,f 的大小关系为________.
    答案 f  解析 因为f(x+2)=-f(x),所以T=4,
    又f(x)为奇函数,所以f(x+1)=-f(x-1)=f(1-x),
    即f(x)图象关于x=1对称.
    作图,由图知f 
    2.分别在曲线y=2ln x与直线y=2x+3上各取一点M,N,则MN的最小值为________.
    答案 
    解析 设直线y=2x+t与曲线y=2ln x相切于点Q(a,b),
    而函数y=2ln x的导数为y′=,令=2,解得a=1,求得Q(1,0),
    点Q到直线y=2x+3的距离为d==,
    即MN的最小值为.
    3.在三棱锥A-BCD中,△ABC为等边三角形,AB=2,∠BDC=90°,二面角A-BC-D的大小为150°,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________.
    答案 28π
    解析 满足题意的三棱锥A-BCD如图所示,设三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,半径为R,△BCD,△ABC的外接圆的圆心分别为O1,O2,可知O,O1,O2在同一平面内,由二面角A-BC-D的大小为150°,得∠OO1O2=150°-90°=60°.

    依题意,可得△BCD,△ABC的外接圆的半径分别为
    r1===,r2=2×sin 60°×=2,
    所以即解得R=,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4πR2=28π.
    4.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=-x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为________.
    答案 
    解析 设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x-c),代入双曲线渐近线方程y=-x,得A.由=2,可得B,把B点坐标代入-=1,得-=1,∴c2=5a2,
    ∴离心率e==.
    5.记实数x1,x2,…,xn中最小数为min{x1,x2,…,xn},则定义在区间[0,+∞)上的函数f(x)=min{x2+1,x+3,13-x}的最大值为________.
    答案 8
    解析 在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1,y=x+3,y=13-x的图象如图.

    由图可知,在实数集R上,min{x2+1,x+3,13-x}为y=x+3上A点下方的射线,抛物线AB之间的部分,线段BC与直线y=13-x在点C下方的部分的组合体.显然,在区间[0,+∞)上,在C点时,y=min{x2+1,x+3,13-x}取得最大值.
    解方程组得点C(5,8).
    所以f(x)max=8.
    6.已知函数f(x)=|lg(x-1)|,若1<a<b且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围为________.
    答案 (6,+∞)
    解析 由图象可知b>2,1<a<2,

    ∴-lg(a-1)=lg(b-1),
    则a=,
    则a+2b=+2b===2(b-1)++3,
    由对勾函数的性质知,
    当b∈时,f(b)=2(b-1)++3单调递增,
    ∵b>2,
    ∴a+2b=+2b>6.
    7.已知函数f(x)=若不等式f(x)≥mx恒成立,则实数m的取值范围为________.
    答案 [-3-2,0]
    解析 函数f(x)及y=mx的图象如图所示,由图象可知,当m>0时,不等式f(x)≥mx不恒成立,设过原点的直线与函数f(x)=x2-3x+2(x<1)相切于点A(x0,x-3x0+2),因为f′(x0)=2x0-3,所以该切线方程为y-(x-3x0+2)=(2x0-3)(x-x0),因为该切线过原点,所以-(x-3x0+2)=-x0(2x0-3),解得x0=-,即该切线的斜率k=-2-3.由图象得-2-3≤m≤0.

    8.已知函数f(x)=+x+sin x,若存在x∈[-2,1],使得f(x2+x)+f(x-k)<0成立,则实数k的取值范围是________.
    答案 (-1,+∞)
    解析 由题意知函数f(x)=+x+sin x的定义域为R,f(-x)=+(-x)+sin(-x)=-=-f(x),即函数f(x)为奇函数,且f′(x)=+1+cos x>0在R上恒成立,即函数f(x)在R上单调递增.若∃x∈[-2,1],使得f(x2+x)+f(x-k)<0成立,
    即f(x2+x)<-f(x-k),
    所以f(x2+x) 即x2+x 则问题转化为∃x∈[-2,1],k>x2+2x,
    令g(x)=x2+2x,x∈[-2,1].
    则k>g(x)min=g(-1)=-1,
    故实数k的取值范围是(-1,+∞).
    9.已知正四棱锥的体积为,则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.
    答案 2
    解析 如图所示,设正四棱锥的底面边长为a,高为h.则该正四棱锥的体积V=a2h=,

    故a2h=32,即a2=.
    则其侧棱长为l==.
    令f(h)=+h2,则f′(h)=-+2h=,
    令f′(h)=0,解得h=2.
    当h∈(0,2)时,f′(h)<0,f(h)单调递减;
    当h∈(2,+∞)时,f′(h)>0,f(h)单调递增,
    所以当h=2时,f(h)取得最小值f(2)=+22=12,
    故lmin==2.
    10.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
    答案  (0,2)
    解析 由f(x)=|2x-2|-b有两个零点,
    可得|2x-2|=b有两个不等的实根,
    从而可得函数y1=|2x-2|的图象与函数y2=b的图象有两个交点,如图所示.

    结合函数的图象,可得0 11.已知椭圆C1:+=1和圆C2:x2+(y+1)2=r2 (r>0),若两条曲线没有公共点,则r的取值范围是______________.
    答案 (0,1)∪
    解析 方法一 联立C1和C2的方程,消去x,
    得到关于y的方程-y2+2y+10-r2=0, ①
    方程①可变形为r2=-y2+2y+10,
    把r2=-y2+2y+10看作关于y的函数.
    由椭圆C1可知,-2≤y≤2,
    因此,求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合,等价于在定义域为y∈[-2,2]的情况下,求函数r2=f(y)=-y2+2y+10的值域.
    由f(-2)=1,f(2)=9,f =,
    可得f(y)的值域为,即r∈,
    它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合,因此,两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1)∪.
    方法二 联立C1和C2的方程消去x,得到关于y的方程-y2+2y+10-r2=0. ①
    两条曲线没有公共点,等价于方程-y2+2y+10-r2=0要么没有实数根,要么有两个根y1,y2∉[-2,2].
    若没有实数根,则Δ=4-4××(10-r2)<0,
    解得r>或r<-
    .
    若两个根y1,y2∉[-2,2],设φ(y)=-y2+2y+10-r2,其图象的对称轴方程为y=∈[-2,2].
    则又r>0,解得0 因此,两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1)∪.
    12.若关于x的不等式ex--1-x≥0在上恰成立,则实数a的取值集合为________.
    答案 {2}
    解析 关于x的不等式ex--1-x≥0在上恰成立⇔函数g(x)=在上的值域为.
    因为g′(x)=,
    令φ(x)=ex(x-1)-+1,x∈,
    则φ′(x)=x(ex-1).
    因为x≥,所以φ′(x)>0,
    故φ(x)在上单调递增,
    所以φ(x)≥φ=->0.
    因此g′(x)>0,故g(x)在上单调递增,
    则g(x)≥g==2-,
    所以a-=2-,解得a=2,
    所以a的取值集合为{2}.

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