2019届二轮复习函数与方程思想学案（全国通用）

                         函数与方程的思想

　　函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.

函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.

　　方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．

函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程就是求函数当函数值为零时自变量的值；求综合方程的根或根的个数就是求函数与的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.

函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．

由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．

一、函数思想的应用

　　1．显化函数关系

　　在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.

【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）

A.−1        B.3           C.7         D.8

【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得与的函数关系，转化为函数求值域的问题。

【解析】由题意得，线段所在直线方程:

，函数为减函数，

，

当时最大值为7，故选C

【小结】本题考查求函数值域的常用方法：单调性法，对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．解析几何是用代数方法解决几何问题，方程都具有隐含的函数关系，都可以看成关于的函数，在解决解析几何问题中，有意识凸显其函数关系、从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便优秀的解法，且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.

　　2．转换函数关系

　　在函数综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难奏效时，通常灵活转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，即参变分离，揭示它与其它变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.

【例2】已知函数 ，其中为常数，若当 时， 有意义，求实数的取值范围.

【分析】参数隐含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，进行参变分离，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题很容易解决.

【解析】由题意得，，且，

，即.

当 时， 和 都是减函数，

∴ 在 上是增函数， ，

∴，

　　故的取值范围为 .

【小结】发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解.本题主客换位后，利用新建函数 的单调性转换为函数最值，巧妙地求出了实数的取值范围， 此法也叫参变分离法.

　　3．建立函数关系

　　对于实际问题，在正确过好事理关，文理关，明白题意后，根据题目的要求，选择相应的函数关系建立数学模型，利用函数的性质解决问题，是函数思想应用的一个热点，也是高考的热点.

【例3】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【分析】本题是函数实际应用问题，“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，由图像判断燃油效率随着速度的变化该如何变化.

【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图像最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.

【小结】1.函数应用问题考虑实际意义；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对函数图像的理解.　

二、方程思想的应用

方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．

1.构造方程

分析题目中的未知量，根据条件列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，叫构造方程法，是应用方程思想中最常见的用法.

　 【例4】.已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.

【分析】等差数列中计算需求出.

【解析】∵是等差数列，∴，，，，

∴，故填：．

【小结】

1.等差数列基本性质；

2.在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.

2.待定系数

待定系数法，一种求未知数的方法。将一个表达式表示成另一种含有待定系数的新的形式，然后根据已知得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

　 【例5】已知双曲线 （，）的一条渐近线为，一个焦点为，则_______；_____________.

【分析】利用双曲线标准方程及渐近线的关系列方程组求值.

【解析】依题意有,结合,解得.

【小结】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

3.整体消元

    解析几何中，面对复杂的问题，通常可以利用设而不求方法、整体消元的思想，这样可有效地简化运算.

【例6】已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.

【分析】（Ⅰ）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（II）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线,的值求乘积为定值即可.

【解析】（I）由题意得，，.所以椭圆C的方程为，又，所以离心率．

（Ⅱ）设，则

又，所以，直线的方程为.

令，得，从而.

直线的方程为.

令，得，从而.

所以四边形面积为：

.

从而四边形的面积为定值．

【小结】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

三．函数思想与方程思想的联用

　　在解综合题中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是两种数学思想方法的联用，例如函数思想与方程思想的联用，它们间的相互转换一步步使问题获得解决，转换的途径为函数→方程→函数，或方程→函数→方程.

　　【例7】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是

（A） （B） （C）（D）

【分析】函数 恰有4个零点有4个不同的解函数与函数的图象有4个公共点．

【解析】由得，

所以，

即

,所以恰有4个零点等价于方程

有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.故选 D

【小结】1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.

　　数学应用题的数学模型为方程，或必须使用待定系数法确定某些字母的值时，应建立相应的方程（组），把问题转化为方程求解.

函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．

练习：

一、选择题

1. 已知等差数列前9项的和为27,,则

（A）100   （B）99  （C）98  （D）97

2．直线与轴、轴都相交，交点分别记为A、B，△OAB的面积为，则下面结论正确的是（ ）

　　A．不是 的函数    B．是奇函数

　　C．是偶函数        D．是 的函数，但为非奇非偶函数

3．设 ，如果 恒成立，那么（ ）

A． B． C． D．

4．函数 ， ，使 在 上的值域为 ，则这样的实数对 共有（ ）

　　A．1个B．2个 C．3个D．4个

5．已知 ，则在数列 的前30项中，最大项和最小项分别是（ ）

　　A． B． C． D．

6．四面体有五条棱长为1，一条棱长为，设其体积为，那么函数在其定义域上（  ）

A．是增函数但无最大值        B．是增函数且有最大值

C．不是增函数且无最大值      D．不是增函数但有最大值

二、填空题

7．若关于的方程恰有两个不等实根，则实数的取值范围是_________.

8．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是           .

9.设函数.

①若，则的最大值为______________；

②若无最大值，则实数的取值范围是________.

三、解答题　　

10．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图如图是由两个相同的矩形和构成的面积为200平方米的十字形域，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四旁四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元.

　　（1）设总造价为元，长为米，试建立关于的函数关系式；

　　（2）当为何值时最小，并求出这个最小值.

参考答案：

一、选择题

1． C 2．C 3．D 4． D 5．C 6．D

二、填空题

7．或

8．

解析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，

若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；

若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而

；，综上，实数的取值范围是.

9.，.

解析：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，

①当时，，因此的最大值是；

②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：，．

三、解答题

10．　解：（1）设米，∵米，则 ，∴

　　由题意，得

　　 （2） ∵，∴，

　　 当且仅当 ，即 (米)时取等号，

　　故当 米时，总造价最小，最小值为118000元.